(0)

数列\(\left(a_{n}\right)\)が\(a\)に収束するとする。
このとき、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a \] であるので、
\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;n\geq N\Rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon \] となる。
このとき、\(m,n\geq N\)となる\(m,n\)を選ぶと、
\begin{align*} \left|a_{m}-a_{n}\right| & =\left|a_{m}-a-\left(a_{n}-a\right)\right|\\ & \leq\left|a_{m}-a\right|+\left|a_{n}-a\right|\\ & <\epsilon+\epsilon\\ & =2\epsilon \end{align*} となるので、
\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;m,n\geq N\Rightarrow\left|a_{m}-a_{n}\right|<2\epsilon \] となり数列\(\left(a_{n}\right)\)はコーシー列となる。

(0)-2

逆は成り立たないことの反例
距離空間として\(\left(0,1\right]\)をとり、\(a_{n}=\frac{1}{n}\)とすると、コーシー列であるが、\(\left(0,1\right]\)に極限値の\(0\)は含まれていないので収束列ではない。

(0)-3

逆は成り立たないことの反例
距離空間として有理数をとり
\begin{align*} a_{1} & =1\\ a_{2} & =1.4\\ a_{3} & =1.5 \end{align*} と\(\sqrt{2}\)に近づけていく。このとき
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\sqrt{2} \] となるが、これはコーシー列であるが、極限値の\(\sqrt{2}\)は無理数で有理数ではないので収束列にはならない。

(0)-4

完備空間ならコーシー列ならば収束列の証明
コーシー列より
\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;m,n\geq N\Rightarrow\left|a_{m}-a_{n}\right|<\epsilon \] となるので、\(m,n\geq N\)のとき、
\[ \left|a_{m}-a_{n}\right|<\epsilon \] より、
\[ a_{m}-\epsilon<a_{n}<a_{m}+\epsilon \] となる。
ここで
\[ \alpha=\min\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n-1},a_{m}-\epsilon\right) \] \[ \beta=\max\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n-1},a_{m}-\epsilon\right) \] とおく。
\(n<N\)のとき、
\[ \alpha\leq a_{n}\leq\beta \] \(N\leq n\)のとき、
\[ \alpha\leq a_{m}-\epsilon\leq a_{n}\leq a_{m}+\epsilon\leq\beta \] となるので、任意の自然数\(n\)に対して、
\[ \alpha\leq a_{n}\leq\beta \] が成り立つ。
これより、コーシー列\(a_{n}\)は有界であるので、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理より、収束する部分列をもつ。
この部分列を\(\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)として収束値を\(a\)とすると、
\[ \forall\epsilon^{\prime}>0\;,\;\exists N^{\prime}\in\mathbb{N}\;;\;k\geq N^{\prime}\Rightarrow\left|a_{k}-a\right|<\epsilon^{\prime} \] となる。
これより、\(\max\left(N,N^{\prime}\right)\leq n,k\)のとき、
\begin{align*} \left|a_{n}-a\right| & =\left|\left(a_{n}-a_{k}\right)+\left(a_{k}-c\right)\right|\\ & \leq\left|a_{n}-a_{k}\right|+\left|a_{k}-c\right|\\ & <\epsilon+\epsilon^{\prime} \end{align*} \(\epsilon\)と\(\epsilon^{\prime}\)は任意の正数であるので、記号を置きなおして、
\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;n\geq N\Rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon \] となり、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a \] と収束するので\(\left(a_{n}\right)\)は収束列となる。