無限正項級数は順序変更出来る
無限正項級数は順序変更出来る
数列\(\left(a_{k}\right)\)の各項が\(a_{k}\geq0\)を満たし、自然数の間の全単射を\(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)とすると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \] となる。
すなわち無限正項級数は順序変更できる。
数列\(\left(a_{k}\right)\)の各項が\(a_{k}\geq0\)を満たし、自然数の間の全単射を\(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)とすると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \] となる。
すなわち無限正項級数は順序変更できる。
任意の自然数\(n\)に対し、
\[ N_{n}=\max_{1\leq k\leq n}\sigma\left(k\right) \] とすると、
\[ \sum_{k=1}^{n}a_{\sigma\left(k\right)}\leq\sum_{k=1}^{N_{n}}a_{k} \] となり、\(n\rightarrow\infty\)とすると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}\leq\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \] となる。
\(\sigma\left(k\right)\)は\(\sigma\)の逆写像によって\(k\)になるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma^{\bullet}\left(\sigma\left(k\right)\right)}\\ & \leq\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \end{align*} も成り立つ。
これより、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \] が成り立つので無限正項級数は順序変更出来る。
\[ N_{n}=\max_{1\leq k\leq n}\sigma\left(k\right) \] とすると、
\[ \sum_{k=1}^{n}a_{\sigma\left(k\right)}\leq\sum_{k=1}^{N_{n}}a_{k} \] となり、\(n\rightarrow\infty\)とすると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}\leq\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \] となる。
\(\sigma\left(k\right)\)は\(\sigma\)の逆写像によって\(k\)になるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma^{\bullet}\left(\sigma\left(k\right)\right)}\\ & \leq\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \end{align*} も成り立つ。
これより、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \] が成り立つので無限正項級数は順序変更出来る。
ページ情報
| タイトル | 無限正項級数は順序変更出来る |
| URL | https://www.nomuramath.com/qy2u1wn7/ |
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上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}
\]
収束列ならばコーシー列
収束列ならばコーシー列となるが逆は一般に成り立たない。
有理数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元
各点収束・一様収束・広義一様収束の包含関係
\[
\text{一様収束}\Rightarrow\text{各点収束}
\]