絶対収束するならば順序変更可能
絶対収束するならば順序変更可能
自然数から自然数への全単射を\(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)とする。
\(\left(\alpha_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を複素数列とすると、\(\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\)が絶対収束するならば順序変更が可能である。
すなわち、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{k}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{\sigma\left(k\right)} \] となる。
自然数から自然数への全単射を\(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)とする。
\(\left(\alpha_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を複素数列とすると、\(\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}\)が絶対収束するならば順序変更が可能である。
すなわち、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{k}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{\sigma\left(k\right)} \] となる。
実数列の場合の証明
\(\left(a_{n}\right)\)を実数列として、\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|\)が収束するとする。
\[ a_{n}^{+}=\begin{cases} a_{n} & a_{n}\geq0\\ 0 & a_{n}<0 \end{cases} \] \[ a_{n}^{-}=\begin{cases} -a_{n} & a_{n}\leq0\\ 0 & a_{n}>0 \end{cases} \] とする。
正項級数は順序変更できるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{\sigma\left(k\right)}\right| & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{+}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{+}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{k}\right|\\ & <\infty \end{align*} となり、\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{\sigma\left(k\right)}\right|\)が収束するので\(\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}\)は絶対収束する。
これより、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{+}-\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{+}-\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \end{align*} となり、題意を満たす。
\(\left(a_{n}\right)\)を実数列として、\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|\)が収束するとする。
\[ a_{n}^{+}=\begin{cases} a_{n} & a_{n}\geq0\\ 0 & a_{n}<0 \end{cases} \] \[ a_{n}^{-}=\begin{cases} -a_{n} & a_{n}\leq0\\ 0 & a_{n}>0 \end{cases} \] とする。
正項級数は順序変更できるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{\sigma\left(k\right)}\right| & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{+}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{+}+\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{k}\right|\\ & <\infty \end{align*} となり、\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{\sigma\left(k\right)}\right|\)が収束するので\(\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}\)は絶対収束する。
これより、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{+}-\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{+}-\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}^{-}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \end{align*} となり、題意を満たす。
順序変更が出来ない例
無限級数の順序変更
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\ne\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right) \] は出来ない。
これを計算すると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k} & \ne\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2\left(2k-1\right)-1}+\frac{1}{2\left(2k\right)-1}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\\ & \ne\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right) \end{align*} となる。
\(\ne\)が2回出てきているので、実際に計算すると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}=\log2 \] であるが、順序変更すると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right) & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k}+\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\\ & =\frac{3}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\\ & =\frac{3}{2}\log2 \end{align*} となる。
無限級数の順序変更
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\ne\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right) \] は出来ない。
これを計算すると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k} & \ne\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2\left(2k-1\right)-1}+\frac{1}{2\left(2k\right)-1}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\\ & \ne\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right) \end{align*} となる。
\(\ne\)が2回出てきているので、実際に計算すると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}=\log2 \] であるが、順序変更すると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right) & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k}+\frac{1}{4k-2}-\frac{1}{4k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-2}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\\ & =\frac{3}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\\ & =\frac{3}{2}\log2 \end{align*} となる。
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| タイトル | 絶対収束するならば順序変更可能 |
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有理数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}
\]
実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
\[
\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x
\]
有界単調数列は収束する