2乗和と3乗和から1乗和を求めよ

1つ目の式より、
\begin{align*} 10 & =x^{3}+y^{3}\\ & =\left(x+y\right)^{3}-3xy\left(x+y\right) \end{align*} これより、
\[ xy=\frac{\left(x+y\right)^{3}-10}{3\left(x+y\right)} \] 2つ目の式より、
\begin{align*} 7 & =\left(x^{2}+y^{2}\right)\\ & =\left(x+y\right)^{2}-2xy \end{align*} これより、
\[ xy=\frac{\left(x+y\right)^{2}-7}{2} \] これらより、\(xy\)を消去すると、
\[ \frac{\left(x+y\right)^{3}-10}{3\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y\right)^{2}-7}{2} \] 分母を払うと、
\[ 2\left(x+y\right)^{3}-20=3\left(x+y\right)^{3}-21\left(x+y\right) \] 整理して、
\[ \left(x+y\right)^{3}-21\left(x+y\right)+20=0 \] \(x+y=1\)のとき、この方程式を満たすので、
\[ \left(x+y-1\right)\left(\left(x+y\right)^{2}+\left(x+y\right)-20\right)=0 \] これより、
\begin{align*} \left(x+y-1\right)\left(x+y-4\right)\left(x+y+5\right) & =0\\ x+y & =-5,1,4, \end{align*} 故に\(x+y=-5,1,4\)となる。