max・min関数の性質
max・min関数の性質
(1)
\[ \max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right) \](2)
\[ \min\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\left|a-b\right|\right) \](3)
\[ \max\left(a,b\right)=-\min\left(-a,-b\right) \](4)
\[ \min\left(a,b\right)=-\max\left(-a,-b\right) \](5)
\[ \max\left(\left|ca\right|,\left|cb\right|\right)=\left|c\right|\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right) \](6)
\[ \min\left(\left|ca\right|,\left|cb\right|\right)=\left|c\right|\min\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right) \](1)(2)
\[ a+b=\max\left(a,b\right)+\min\left(a,b\right) \] \[ \left|a-b\right|=\max\left(a,b\right)-\min\left(a,b\right) \] これより、\[ \max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right) \] \[ \min\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\left|a-b\right|\right) \] が成り立つ。
(3)
\begin{align*} -\min\left(-a,-b\right) & =-\frac{1}{2}\left(-a+-b-\left|-a+b\right|\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right)\\ & =\max\left(a,b\right) \end{align*}(4)
(3)より、\[ -\max\left(-a,-b\right)=\max\left(a,b\right) \] となる。
(5)
\begin{align*} \max\left(\left|ca\right|,\left|cb\right|\right) & =\frac{1}{2}\left(\left|ca\right|+\left|cb\right|+\left|\left|ca\right|-\left|cb\right|\right|\right)\\ & =\left|c\right|\frac{1}{2}\left(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\right)\\ & =\left|c\right|\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right) \end{align*}(6)
(5)と同様にすればいい。
ページ情報
| タイトル | max・min関数の性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ybxi9fx8/ |
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畳み込みの定義
\[
\left(f*g\right)\left(x\right)=\int f\left(t\right)g\left(x-t\right)dt
\]
指数型不等式
\[
\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}
\]
単位分数とエジプト式分数の定義
\[
\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}
\]
有理数全体の集合
\[
f\left(x\right)=\frac{1}{\left\lfloor x\right\rfloor +1-\left\{ x\right\} }
\]