モンティ・ホール問題・改

3つのドアをA,B,CとしてあなたがドアAを選ぶ事象を\(a_{1}\)、司会者がドアAを選ぶ事象を\(a_{2}\)で表す。
ドアB、ドアCについても同様にする。
あなたが選んだドアをAとして、司会者が選んだドアをBとする。
このとき、ドアAが当たる確率を\(P\left(A\right)\)などと表すと、
\begin{align*} P\left(A;a_{1}\cap b_{2}\right) & =\frac{P\left(A\cap a_{1}\cap b_{2}\right)}{P\left(a_{1}\cap b_{2}\right)}\\ & =\frac{P\left(A\right)P\left(a_{1}\cap b_{2};A\right)}{P\left(a_{1}\cap b_{2};A\right)P\left(A\right)+P\left(a_{1}\cap b_{2};B\right)P\left(B\right)+P\left(a_{1}\cap b_{2};C\right)P\left(C\right)}\\ & =\frac{P\left(A\right)P\left(A\cap b_{2}\right)}{P\left(A\right)\left(P\left(a_{1}\cap b_{2};A\right)+P\left(a_{1}\cap b_{2};B\right)+P\left(a_{1}\cap b_{2};C\right)\right)}\\ & =\frac{P\left(A\cap b_{2}\right)}{P\left(a_{1}\cap b_{2};A\right)+P\left(a_{1}\cap b_{2};B\right)+P\left(a_{1}\cap b_{2};C\right)}\\ & =\frac{\frac{1}{2\cdot3}}{\frac{1}{2\cdot3}+0+\frac{1}{3}\left(p+\frac{1}{2}\left(1-p\right)\right)}\\ & =\frac{1}{1+\left(1+p\right)}\\ & =\frac{1}{2+p} \end{align*} これより、ドアAが当たる確率は\(\frac{1}{2+p}\)となる。