1から4までの個数問題

1の個数を\(a_{1}\)、2の個数を\(a_{2}\)、3の個数を\(a_{3}\)、4の個数を\(a_{4}\)とする。
各数字は1つは含まれていて、全ての？が同じ数字、すなわち同じ数字が5個あることはないので、
\[ 1\leq a_{k}\leq4\;\left(k=1,2,3,4\right) \] 全ての数字は8個あるので、
\[ \sum_{k=1}^{4}a_{k}=8 \] となる。
\(a_{1}=4\)とすると、\(\left(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right)=\left(4,1,1,1\right)\)となり不適。
\(a_{2}=4\)とすると、\(\left(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right)=\left(2,4,2,2\right)\)となり不適。
\(a_{3}=4\)とすると\(\sum_{k=1}^{4}a_{k}>10\)となり不適。
同様に\(a_{4}=5\)も不適になる。
これより、
\[ 1\leq a_{k}\leq3\;\left(k=1,2,3,4\right) \] となる。
\(a_{4}\geq2\)とすると、\(a_{1},a_{2},a_{3}\)のうちいずれか1つは4になるが3以下でないので不適となり\(a_{4}=1\)が決まる。
これより、\(2\leq a_{1}\leq3\)となる。
ここで、
\begin{align*} 8 & =\sum_{k=1}^{4}a_{k}\\ & =1+\sum_{k=1}^{3}a_{k} \end{align*} なので、
\[ \sum_{k=1}^{3}a_{k}=7 \] となる。
故に\(\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} =\left\{ 2,2,3\right\} ,\left\{ 1,3,3\right\} \)の組み合わせとなり、個数は決まる。
\(\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} =\left\{ 2,2,3\right\} \)ならば、1は2つ、2は3つ、3は2つとなるので\(\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)=\left(2,3,2\right)\)となる。
\(\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} =\left\{ 1,3,3\right\} \)ならば、1は3つ、2は1つ、3は3つとなるので\(\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)=\left(3,1,3\right)\)となる。
故に\(\left(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right)=\left(2,3,2,1\right),\left(3,1,3,1\right)\)が答えになる。