1から5までの個数問題

1の個数を\(a_{1}\)、2の個数を\(a_{2}\)、3の個数を\(a_{3}\)、4の個数を\(a_{4}\)、5の個数を\(a_{5}\)とする。
各数字は1つは含まれていて、全ての？が同じ数字、すなわち同じ数字が6個あることはないので、
\[ 1\leq a_{k}\leq5\;\left(k=1,2,3,4,5\right) \] 全ての数字は10個あるので、
\[ \sum_{k=1}^{5}a_{k}=10 \] となる。
\(a_{1}=5\)とすると、\(\left(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\right)=\left(5,1,1,1,1\right)\)となり不適。
\(a_{2}=5\)とすると、\(\sum_{k=1}^{5}a_{k}>10\)となり不適。
同様に\(a_{3}=5\)も\(a_{4}=5\)も\(a_{5}=5\)も不適になる。
これより、
\[ 1\leq a_{k}\leq4\;\left(k=1,2,3,4\right) \] となる。
\(2\leq a_{5}\)とすると、どこかに5があることになるが、4以下でないといけないので不適となり、\(a_{5}=1\)となる。
これより、
\[ \sum_{k=1}^{4}a_{k}=9 \] となる。
\(a_{1}=4\text{とすると}\text{、}\)\(\left\{ a_{2},a_{3},a_{4}\right\} =\left\{ 1,1,3\right\} \)となるが3が2つを満たさないので不適。
\(a_{2}=4\text{とすると}\text{、}\)\(\left\{ a_{1},a_{3},a_{4}\right\} =\left\{ 2,2,2\right\} \)となるが\(\sum_{k=1}^{4}a_{k}>9\)となり不適。
同様に\(a_{3}=4\)も\(a_{4}=4\)も不適になる。
これより、
\[ 1\leq a_{k}\leq3\;\left(k=1,2,3\right) \] となる。
\(2\leq a_{4}\)とすると、どこかに4があることになるが、3以下でないといけないので不適となり、\(a_{4}=1\)となる。
これより、
\[ \sum_{k=1}^{3}a_{k}=8 \] となる。
これを満たす組み合わせは\(\left\{ a_{1},a_{2},a_{3}\right\} =\left\{ 2,3,3\right\} \)となるが、これで個数は1が3つ、2が2つ、3が3つになるので、\(\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)=\left(3,2,3\right)\)となる。
故に\(\left(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}\right)=\left(3,2,3,1,1\right)\)となる。