距離空間の定義

距離空間の定義
空でない集合\(X\)があり、写像\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)が以下の3条件を満たすとき、\(d\)を\(X\)の距離関数といい、\(X\)と\(d\)の組\(\left(X,d\right)\)を距離空間という。

(a)非退化性

\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y \]

(b)対称性

\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right) \]

(c)3角不等式

\[ \forall x,y,z\in X,d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right) \] また上の3つより、

(d)非負性

\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)\geq0 \] が導かれる。

(1)非負性の導出

任意の\(x,y\in X\)に対し、3角不等式より、\(d\left(x,x\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,x\right)\)となり、非退化性と対称性より、\(0\leq2d\left(x,y\right)\)となるので両辺を2で割って\(0\leq d\left(x,y\right)\)となる。
これより、非負性を満たす。

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距離空間の定義
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