距離空間の定義
距離空間の定義
空でない集合\(X\)があり、写像\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)が以下の3条件を満たすとき、\(d\)を\(X\)の距離関数といい、\(X\)と\(d\)の組\(\left(X,d\right)\)を距離空間という。
空でない集合\(X\)があり、写像\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)が以下の3条件を満たすとき、\(d\)を\(X\)の距離関数といい、\(X\)と\(d\)の組\(\left(X,d\right)\)を距離空間という。
(a)非退化性
\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y \](b)対称性
\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right) \](c)3角不等式
\[ \forall x,y,z\in X,d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right) \] また上の3つより、(d)非負性
\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)\geq0 \] が導かれる。(1)非負性の導出
任意の\(x,y\in X\)に対し、3角不等式より、\(d\left(x,x\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,x\right)\)となり、非退化性と対称性より、\(0\leq2d\left(x,y\right)\)となるので両辺を2で割って\(0\leq d\left(x,y\right)\)となる。これより、非負性を満たす。
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距離空間と位相空間の関係
距離空間の開集合族は位相空間
距離空間での空集合・全体集合・1点集合
距離空間$\left(X,d\right)$で空集合$\emptyset$と全体集合$X$はどちらも開集合かつ閉集合となる。
距離空間でコーシー列ならば有界列
離散位相は距離化可能
離散位相$\left(X,2^{X}\right)$は離散距離空間$\left(X,d\right)$で距離化可能である。