距離空間の定義
距離空間の定義
空でない集合\(X\)があり、写像\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)が以下の3条件を満たすとき、\(d\)を\(X\)の距離関数といい、\(X\)と\(d\)の組\(\left(X,d\right)\)を距離空間という。
空でない集合\(X\)があり、写像\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)が以下の3条件を満たすとき、\(d\)を\(X\)の距離関数といい、\(X\)と\(d\)の組\(\left(X,d\right)\)を距離空間という。
(a)非退化性
\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y \](b)対称性
\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right) \](c)3角不等式
\[ \forall x,y,z\in X,d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right) \] また上の３つより、(d)非負性
\[ \forall x,y\in X,d\left(x,y\right)\geq0 \] が導かれる。(1)非負性の導出
任意の\(x,y\in X\)に対し、3角不等式より、\(d\left(x,x\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,x\right)\)となり、非退化性と対称性より、\(0\leq2d\left(x,y\right)\)となるので両辺を2で割って\(0\leq d\left(x,y\right)\)となる。これより、非負性を満たす。
ページ情報
| タイトル | 距離空間の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/z8txcqf7/ |
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完備距離空間$\left(X,d_{X}\right)$の部分集合$A\subseteq X$は完備とは限らない。
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\[
\forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
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\[
d_{1}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|
\]
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