パリ距離は距離空間

by nomura · 2023年4月30日

パリ距離は距離空間
\(\mathbb{R}^{n}\)に対し距離関数\(d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}\)\(\rightarrow\mathbb{R}\)を
\[ d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases} \left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\ \left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right| & other \end{cases} \] で定めると、\(\left(\mathbb{R}^{n},d\right)\)は距離空間になる。
ここで\(\left|\boldsymbol{x}\right|\)は通常の距離で、
\[ \left|\boldsymbol{x}\right|=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}} \] である。
この距離をパリ距離といい、距離空間をパリ距離空間という。

2次元すなわち平面上で考える。
パリ距離空間の名前の由来は、フランスはパリを中心に放射状に鉄道が走っている。
このため出発点から目的点まで鉄道を使って行くとき、原点と出発点と目的点が同一直線状なら普通の距離で、同一直線状にない場合は一旦パリを経由して行かなければいならないので、このような距離をパリ距離空間と言われる。

非退化性

\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)のとき、\(d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|\)となるので、
\begin{align*} d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)
\(d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)のとき、\(d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|\)となるので、
\begin{align*} 0 & =d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & =\begin{cases} \left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\ \left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right| & other \end{cases}\\ & =\begin{cases} \sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left(x_{k}-y_{k}\right)^{2}} & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\ \sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}}+\sqrt{\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}} & other \end{cases} \end{align*} が成り立たなければいけない。
下側の式が成り立つならば\(\forall c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}\ne c\boldsymbol{x}\)でなければいけなく、\(\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}}+\sqrt{\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}}=0\)となるには\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}=0\)となるが、条件\(\forall c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}\ne c\boldsymbol{x}\)に反する。
上側の式が成り立つならば\(\forall k\in\left\{ 1,\cdots,n\right\} ,x_{k}-y_{k}=0\)すなわち、\(\forall k\in\left\{ 1,\cdots,n\right\} ,x_{k}=y_{k}\)とならなければいけないがこれは\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)であり、条件\(\exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\)を満たしている。
これより、\(d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となり非退化性は満たされる。

対称性

\begin{align*} d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\begin{cases} \left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\ \left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right| & other \end{cases}\\ & =\begin{cases} \left|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\ \left|\boldsymbol{y}\right|+\left|\boldsymbol{x}\right| & other \end{cases}\\ & =d\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。

3角不等式

任意に\(x,y,z\in\mathbb{R}^{n}\)をとる。

\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)が同一直線状、\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\)が同一直線状

\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\)は同一直線状にあるので、
\begin{align*} d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right|\\ & \leq\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|+\left|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}\right|\\ & =d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となり3角不等式を満たす。

\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)が同一直線状、\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\)が同一直線状にないとき

\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\)は同一直線状にないので、
\begin{align*} d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{z}\right|\\ & =\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}+\boldsymbol{y}\right|+\left|\boldsymbol{z}\right|\\ & \leq\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right|+\left|\boldsymbol{z}\right|\\ & =d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となり3角不等式を満たす。

\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)が同一直線状になく、\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\)が同一直線状

\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)が同一直線状、\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\)が同一直線状にないときを逆にすればいい。

\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)が同一直線状になく、\(\boldsymbol{0},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\)が同一直線状にないとき、

\begin{align*} d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & \leq\max\left(\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right|,\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{z}\right|\right)\\ & =\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{z}\right|\\ & \leq\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right|+\left|\boldsymbol{z}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right|\\ & =d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となり3角不等式を満たす。