離散距離は距離空間
離散距離は距離空間
集合\(X\)に対し距離\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)を
\[ d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases} 0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\ 1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y} \end{cases} \] で定めると、\(d_{\delta}\)は距離空間になる。
この距離を離散距離、距離空間を離散距離空間という。
集合\(X\)に対し距離\(d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}\)を
\[ d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases} 0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\ 1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y} \end{cases} \] で定めると、\(d_{\delta}\)は距離空間になる。
この距離を離散距離、距離空間を離散距離空間という。
非退化性
\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)のとき、明らかに\(d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となるので\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)\(d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)のとき、明らかに\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)なので、\(d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\)となり非退化性は満たされる。
対称性
\begin{align*} d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\begin{cases} 0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\ 1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y} \end{cases}\\ & =d_{\delta}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。3角不等式
\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{z}\)のとき、\begin{align*} d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =0\\ & \leq d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{\delta}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となる。
\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{z}\)のとき、
\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y}\)または\(\boldsymbol{y}\ne\boldsymbol{z}\)なので、\(d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=1\)または\(d_{\delta}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)=1\)となるので、
\begin{align*} d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =1\\ & \leq d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{\delta}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となる。
故に\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)でも\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{z}\)でも3角不等式を満たす。
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これより、非退化性・対称性・3角不等式を満たすので離散距離は距離空間になる。ページ情報
| タイトル | 離散距離は距離空間 |
| URL | https://www.nomuramath.com/tmnlhhna/ |
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距離空間でε-近傍は開集合
\[
\forall U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq X,\forall a_{0}\in U_{\epsilon}\left(a\right),\exists\epsilon_{0}>0,U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)
\]
距離空間ならば正規空間
パリ距離は距離空間
\[
d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\
\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right| & other
\end{cases}
\]
単射により誘導された距離空間
\[
d_{f}\left(a,b\right)=d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)
\]