チェビシェフ距離は距離空間

by nomura · 2023年5月4日

チェビシェフ距離は距離空間
$\mathbb{R}^{n}$に対し距離関数$d:\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}$$\rightarrow\mathbb{R}$を
\[ d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right) \] で定めると、$\left(\mathbb{R}^{n},d_{\infty}\right)$は距離空間になる。
この距離をチェビシェフ距離といい、距離空間をチェビシェフ距離空間という。

非退化性

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$のとき、明らかに$d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0$となるので$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Rightarrow d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0$
$d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0$のとき、明らかに$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$なので、$d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0\Rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$となる。
故に$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=0$となり非退化性は満たされる。

対称性

\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) & =\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)\\ & =\max\left(\left|y_{1}-x_{1}\right|,\cdots,\left|y_{n}-x_{n}\right|\right)\\ & =d_{\infty}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので、対称性は満たされる。

3角不等式

1次元ユークリッド空間の3角不等式$\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|$を使うと、
\begin{align*} d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) & =\max\left(\left|x_{1}-z_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-z_{n}\right|\right)\\ & \leq\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|+\left|y_{1}-z_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|+\left|y_{n}-z_{n}\right|\right)\\ & \leq\max\left(\left|x_{1}-y_{1}\right|,\cdots,\left|x_{n}-y_{n}\right|\right)+\max\left(\left|y_{1}-z_{1}\right|,\cdots,\left|y_{n}-z_{n}\right|\right)\\ & =d_{\infty}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)+d_{\infty}\left(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right) \end{align*} となるので3角不等式が成り立つ。