ε近傍(開球)の定義
ε近傍(開球)の定義
距離空間\(\left(X,d\right)\)があるとき、\(X\)の元\(a\in X\)と正の実数\(\epsilon>0\)を用いて、\(a\)からの距離が\(\epsilon\)より小さい元全体を\(a\)の\(\epsilon\)近傍や中心\(a\)半径\(\epsilon\)の開球(open
ball)といい、\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)や\(U\left(a,\epsilon\right)\)で表したり\(B_{\epsilon}\left(x\right)\)や\(B\left(a,\epsilon\right)\)で表す。
すなわち、
\[ U\left(a,\epsilon\right)=\left\{ x\in X;d\left(a,x\right)<\epsilon\right\} \] である。
距離空間\(\left(X,d\right)\)があるとき、\(X\)の元\(a\in X\)と正の実数\(\epsilon>0\)を用いて、\(a\)からの距離が\(\epsilon\)より小さい元全体を\(a\)の\(\epsilon\)近傍や中心\(a\)半径\(\epsilon\)の開球(open
ball)といい、\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)や\(U\left(a,\epsilon\right)\)で表したり\(B_{\epsilon}\left(x\right)\)や\(B\left(a,\epsilon\right)\)で表す。
すなわち、
\[ U\left(a,\epsilon\right)=\left\{ x\in X;d\left(a,x\right)<\epsilon\right\} \] である。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に通常距離\(d\)を入れた距離空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)で\(a\in\mathbb{R},\epsilon>0\)とすると\(\epsilon\)近傍\(U\left(a,\epsilon\right)\)は開集合\(\left(a-\epsilon,a+\epsilon\right)\)となる。
ページ情報
| タイトル | ε近傍(開球)の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/aynu4zz7/ |
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距離空間での完備と閉集合の関係
離散距離は距離空間
\[
d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\
1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y}
\end{cases}
\]
開球同士が交わるときの包含関係
\[
B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right)
\]
距離空間での開集合と点列の収束