距離空間での有界列の定義

by · 2023年5月14日

距離空間での有界列の定義
距離空間(X,d)で点列(xn)n∈Nが与えられたとき、あるM>0とあるa∈Xがあり、任意のn∈Nでd(xn,a)≤Mが成り立つとき、(xn)n∈Nは有界列という。
すなわち、部分集合{xn;n∈N}が有界なことである。
通常距離で考える。
点列((−1)n)n∈Nは任意のn∈Nでd((−1)n,0)≤1となるので有界列である。
点列(n)n∈Nは任意のM>0、任意のa∈Rに対し、n=M+a+1ととればd(n,a)>Mとなるので有界列ではない。
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距離空間での有界列の定義
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離散距離は距離空間
dδ(x,y)={0x=y1x≠y
距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間(X,d)ならばハウスドルフ空間となる。
一様連続であれば各点連続
一様連続であれば各点連続である。
2つの距離関数と点列・開集合・閉集合の関係