(1)

位相空間では\(\emptyset,X\)は開集合かつ閉集合なので距離空間でも成り立つ。

(1)-2

空集合は開集合

\(\forall x\in\emptyset,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)=\left\{ y\in\emptyset;d\left(x,y\right)<\epsilon\right\} \subseteq\emptyset\)は真なので空集合は開集合となる。

空集合は閉集合

空集合は閉集合であるためには空集合の補集合が開集合であればいいので、\(\forall x\in\emptyset^{c},\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap\emptyset=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists\epsilon>0,\top\Leftrightarrow\top\)となるので空集合は閉集合となる。
または空集合の閉包が空集合に等しければよく、\(\forall x\in X,\left(\forall\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap\emptyset\ne\emptyset\rightarrow x\in\emptyset\right)\Leftrightarrow\forall x\in X,\top\Leftrightarrow\top\)となるので空集合は閉集合となる。

全体集合は開集合

\(\forall x\in X,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)=\left\{ y\in X;d\left(x,y\right)<\epsilon\right\} \subseteq X\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists\epsilon>0,\top\Leftrightarrow\top\)となるので全体集合は開集合となる。

全体集合は閉集合

空集合は閉集合であるためには空集合の補集合が開集合であればいいので、\(\forall x\in X^{c},\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap X=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in\emptyset,\exists\epsilon>0,\bot\Leftrightarrow\top\)となるので全体集合は閉集合となる。
または空集合の閉包が空集合に等しければよく、\(\forall x\in X,\left(\forall\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap X\ne\emptyset\rightarrow x\in X\right)\Leftrightarrow\forall x\in X,\top\Leftrightarrow\top\)となるので全体集合は閉集合となる。

(2)

T1空間で1点集合は閉集合なので、距離空間でも成り立つ。

(2)-2

1点集合の補集合が開集合であれば1点集合は閉集合となる。
任意の\(x\in\left\{ a\right\} ^{c}\)に対し、\(\epsilon=\frac{d\left(x,a\right)}{2}\)ととれば\(U_{\epsilon}\left(x\right)\cap\left\{ a\right\} =\emptyset\)となるので、\(\left\{ a\right\} \)は閉集合となる。
故に1点集合は閉集合となる。

(3)

1点集合\(\left\{ a\right\} \)の点\(a\)に対し\(\epsilon=\frac{1}{2}\inf\left\{ d\left(b,a\right);b\in X\right\} >0\)ととれば、\(U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\} =\left\{ a\right\} \subseteq\left\{ a\right\} \)は真となるので有限集合ならば1点集合は開集合となる。