距離空間ならば第1可算空間
距離空間ならば第1可算空間
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならば第1可算空間となる。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならば第1可算空間となる。
逆は一般的に成り立たない。
\(\Rightarrow\)
任意の\(x\in X\)に対し\(\left\{ U\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} \)は\(x\)の基本近傍系となり濃度は可算無限なので第1可算空間となる。\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
反例で示す。上限位相は第1可算空間であるが距離化不可能である。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
ページ情報
| タイトル | 距離空間ならば第1可算空間 |
| URL | https://www.nomuramath.com/h66buev1/ |
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ユークリッド距離は距離空間
\[
d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|
\]
距離空間ならば正規空間
2つの距離関数と点列・開集合・閉集合の関係
パリ距離は距離空間
\[
d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\
\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right| & other
\end{cases}
\]