濃度2以上の密着位相は距離化不可能
濃度2以上の密着位相は距離化不可能
\(2\leq\left|X\right|\)となる密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は距離化不可能である。
\(2\leq\left|X\right|\)となる密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は距離化不可能である。
\(\left|X\right|<2\)のときは離散位相となるので距離化可能である。
(0)
\(2\leq\left|X\right|\)となる密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)の任意の元を含む開集合は\(X\)のみである。これより密着位相はハウスドルフ空間でないので距離空間とはならない。
すなわち距離化不可能である。
(0)-2
\(2\leq\left|X\right|\)となる密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は距離化可能であると仮定する。任意の\(\epsilon>0\)に対し元\(x\in X\)の開近傍\(U_{\epsilon}\left(x\right)\)は\(\emptyset\lor X\)となるが\(x\)を含むため\(\emptyset\)ではないので\(X\)となり\(U_{\epsilon}\left(x\right)=X\)となる。
\(x\)と異なる任意の\(y\in X\)を選ぶと、\(y\in U_{\epsilon}\left(x\right)\)なので\(0<d\left(x,y\right)<\epsilon\)となるが\(\epsilon\)は任意の正の実数なのでいくらでも小さく出来て\(d\left(x,y\right)=0\)となり矛盾。
故に背理法より\(2\leq\left|X\right|\)となる密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は距離化不可能である。
ページ情報
| タイトル | 濃度2以上の密着位相は距離化不可能 |
| URL | https://www.nomuramath.com/pcqx5wzb/ |
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マンハッタン距離は距離空間
\[
d_{1}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|
\]
pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
\[
d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m}
\]
距離空間での完備と閉集合の関係
有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ
有限位相空間では距離化可能と離散位相は同値である。