連続と開集合の逆像が開集合は同値
連続と開集合の逆像が開集合は同値
距離空間\(\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)\)と写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、写像\(f\)が連続であることと\(Y\)の任意の開集合\(O_{Y}\)に対し、逆像\(f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)は\(X\)での開集合になることは同値である。
距離空間\(\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)\)と写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、写像\(f\)が連続であることと\(Y\)の任意の開集合\(O_{Y}\)に対し、逆像\(f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)は\(X\)での開集合になることは同値である。
位相空間での連続と同じになるということです。
\(f\)は連続を開近傍を使った表現
\[ \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0;U_{\delta}\left(x_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x_{1}\right)\right)\right) \] で証明する。
このとき、\(x\in f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)\in O_{Y}\cap f\left(X\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in O_{Y}\)なので、\(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\subseteq O_{Y}\)となる\(\epsilon\)近傍をとれる。
\(f\)は連続であるので、ある\(\delta\)が存在し、\(f\left(U_{\delta}\left(x\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\)を満たす。
従って、\(f\left(U_{\delta}\left(x\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\subseteq O_{Y}\)となり\(U_{\delta}\left(x\right)\subseteq f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)となる。
これより、任意の点\(x\in f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)に対しある\(\delta\)が存在し、\(U_{\delta}\left(x\right)\subseteq f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)となるので\(f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)は開集合となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
開集合の逆像は開集合という条件より、\(f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\right)\)は開集合となり、ある\(\delta\)が存在し、\(U_{\delta}\left(x\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\right)\)となる。
従って、\(f\)は連続であるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\[ \forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0;U_{\delta}\left(x_{1}\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x_{1}\right)\right)\right) \] で証明する。
\(\Rightarrow\)
\(O_{Y}\)の逆像内に任意の点\(x\)をとると\(x\in f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)となる。このとき、\(x\in f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)\in O_{Y}\cap f\left(X\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in O_{Y}\)なので、\(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\subseteq O_{Y}\)となる\(\epsilon\)近傍をとれる。
\(f\)は連続であるので、ある\(\delta\)が存在し、\(f\left(U_{\delta}\left(x\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\)を満たす。
従って、\(f\left(U_{\delta}\left(x\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\subseteq O_{Y}\)となり\(U_{\delta}\left(x\right)\subseteq f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)となる。
これより、任意の点\(x\in f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)に対しある\(\delta\)が存在し、\(U_{\delta}\left(x\right)\subseteq f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)となるので\(f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\)は開集合となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
任意の\(x\in X\)、任意の\(\epsilon>0\)に対し、\(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\)は開集合で\(f\left(x\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\)なので\(f\left(x\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\)\(\Rightarrow\)\(x\in f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\right)\)となる。開集合の逆像は開集合という条件より、\(f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\right)\)は開集合となり、ある\(\delta\)が存在し、\(U_{\delta}\left(x\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(x\right)\right)\right)\)となる。
従って、\(f\)は連続であるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。ページ情報
| タイトル | 連続と開集合の逆像が開集合は同値 |
| URL | https://www.nomuramath.com/aw0ghz6g/ |
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距離空間と位相空間の関係
距離空間の開集合族は位相空間
距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間でε-近傍は開集合
\[
\forall U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq X,\forall a_{0}\in U_{\epsilon}\left(a\right),\exists\epsilon_{0}>0,U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)
\]
一様連続であれば各点連続
一様連続であれば各点連続である。