点列の収束と任意の部分列の収束

by nomura · 2023年6月20日

点列の収束と任意の部分列の収束
距離空間$\left(X,d\right)$が与えられているとき、点列$\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$が$a\in X$に収束することと、$\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$の任意の部分列が$a$に収束することは同値である。

ある部分列が収束するだけでは$\Leftarrow$は成り立たない。
何故なら、$\left(x_{n}=\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$とすると収束しないが、部分列を$\left(x_{2n}=\left(-1\right)^{2n}=1\right)_{n\in\mathbb{N}}$に収束するからである。

$\Rightarrow$

$\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$が$a$に収束するので任意の$\epsilon>0$に対し、ある自然数$N\in\mathbb{N}$が存在し、$N\leq n\rightarrow d\left(x_{n},a\right)<\epsilon$となる。
このとき、部分列$\left(x_{\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$については、ある$N_{1}\in\mathbb{N}$が存在し$N_{1}\leq n\rightarrow N\leq\sigma\left(n\right)$を満たすので、$N\leq\sigma\left(n\right)\rightarrow d\left(x_{\sigma\left(n\right)},a\right)<\epsilon$となり$a$に収束する。

$\Leftarrow$

$\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$の任意の部分列は$\left(x_{\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}$なので$\sigma\left(n\right)=n$ととれば元の点列になるので明らかに元の点列も$a$に収束する