(1)

\(\Rightarrow\)

\(A\)を閉集合とする。
\(A=X\)のときは\(a\in A\)となる。
\(A\ne X\)のときは\(a\notin A\)と仮定すると、\(a\in A^{c}\)であるので、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し\(N\leq n\rightarrow a_{n}\in U_{\epsilon}\left(a\right)\)となる。
しかし、\(A^{c}\)は開集合であるので、ある\(\delta>0\)が存在し\(U_{\delta}\left(a\right)\subseteq A^{c}\)となるので、\(N\leq n\rightarrow a_{n}\in U_{\delta}\left(a\right)\subseteq A^{c}\)となり矛盾。
故に背理法より\(a\in A\)となる。

\(\Leftarrow\)

\(a\in A\)とする。
\(A=X\)のときは\(A\)は全体集合なので閉集合となる。
\(A\ne X\)のときは\(A^{c}\)から任意の元\(x\)をとると\(x\ne a\)である。
このとき\(x\)は収束列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の収束先にはならないのである\(\delta>0\)が存在して\(U_{\delta}\left(x\right)\subseteq A^{c}\)となる。
これより、\(A^{c}\)は開集合であるので、\(A\)は閉集合となる。

-

故に\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。

(1)-2

集積点を使った証明

\(\Rightarrow\)

\(A\)が閉集合のとき、
\[ \forall a\in X,\forall\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow a\in A \] であればいい。
背理法により示すため、
\[ \exists a\in X,\exists\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\land a\notin A \] と仮定する。
このとき、
\begin{align*} & \exists a\in X,\exists\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\land a\notin A\\ \Leftrightarrow & \exists a\in X\setminus A,\exists\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\\ \Leftrightarrow & \exists a\in X\setminus A,\exists\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ a\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a \end{align*} となり、\(a\)は\(A\)の集積点となるので\(a\in A^{d}\)となり、\(A\)は閉集合であるので\(A^{d}\subseteq A\)となるが、\(a\in A^{d}\subseteq A\)より、\(a\in A\)となりこれは矛盾。
従って、背理法より、
\[ \forall a\in X,\forall\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow a\in A \] となるので題意は成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(A=\emptyset\)のとき明らかに\(\Leftarrow\)は成り立つ。
\(A\ne\emptyset\)のときで考える。
背理法により、\(A^{d}\subseteq A\)を示すため、\(A^{d}\nsubseteq A\)と仮定する。
そうすると\(A\)のある集積点\(a\in A^{d}\)が存在し、\(a\in A\)となるが、条件より\(a\in A\)であるので矛盾。
従って背理法より、\(A^{d}\subseteq A\)となり、これより、\(A\)は閉集合となる。
故に\(A\ne\emptyset\)のとき、\(\Leftarrow\)が成り立つ。
これらより、\(A=\emptyset\)のときも\(A\ne\emptyset\)のときも\(\Leftarrow\)が成り立つ。

(2)

\(\Rightarrow\)

任意に\(a\in A^{a}\)をとる。
このとき\(a\)は\(A^{a}\)の元なので、任意の\(n\in\mathbb{N}\)について、開球\(B\left(a,\frac{1}{n}\right)\)は\(B\left(a,\frac{1}{n}\right)\cap A\ne\emptyset\)
を満たす。
これより、各\(n\)について、\(a_{n}\in B\left(x,\frac{1}{n}\right)\cap A\)がとれるので、点列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq A\)を作ることができる。
ここで、\(\left\{ B\left(a,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} \)は\(a\)の基本近傍系であるので\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert a_{n}-a\right\Vert =0\)となる。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

ある点列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq A\)が存在し、\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert a_{n}-a\right\Vert =0\)となるとする。
このとき、\(a\)の任意の近傍\(U_{a}\subseteq X\)について、ある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\)ならば\(a_{n}\in U_{a}\)となるので\(a_{N}\in U_{a}\)となる。
また、\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq A\)より\(a_{N}\subseteq A\)となるので、\(a_{N}\in U_{a}\cap A\)となり\(U_{a}\cap A\ne\emptyset\)となる。
これは\(a\in X\)の任意の近傍\(U_{a}\)に対して成り立つので\(a\in A^{a}\)となる。

(3)

\(A\)が稠密であることと\(A^{a}=X\)となることは同値なので、
\begin{align*} X=A^{a} & \Leftrightarrow X=\left\{ a\in X;\exists\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X,\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert a_{n}-a\right\Vert =0\right\} \\ & \Leftrightarrow\forall a\in X,\exists\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X,\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert a_{n}-a\right\Vert =0 \end{align*} となる。
従って、題意は成り立つ。