集合同士が交わるならば距離は0

\(\Rightarrow\)

条件より、\(A\cap B\ne\emptyset\)なのである\(x\in A\cap B\)が存在するので\(x\in A\land x\in B\)となる。。
このとき、\(d\left(A,B\right)=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\} =d\left(x,x\right)=0\)
となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
全体集合を\(\mathbb{R}\)として距離を通常距離\(d\)の距離空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)とする。
このとき、\(A=\left(0,1\right),B=\left(1,2\right)\)とすると、\(d\left(\left(0,1\right),\left(1,2\right)\right)=0\)であり、\(\left(0,1\right)\cap\left(1,2\right)=\emptyset\)である。
従って\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

\(A,B\)が共に閉集合でも\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
全体集合を\(\mathbb{R}^{2}\)として距離を通常距離\(d\)の距離空間\(\left(\mathbb{R}^{2},d\right)\)とする。
\(A=\left\{ \left(x,y\right);y=e^{-x}\right\} ,B=\left\{ \left(x,y\right);y=0\right\} \)とすると\(A,B\)は共に閉集合である。
このとき、\(d\left(A,B\right)=0\)であるが、\(A\cap B=\emptyset\)である。
従って\(A,B\)が共に閉集合でも\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。