集合同士が交わるならば距離は0

by nomura · 2023年7月5日

集合同士が交わるならば距離は0
$A\cap B\ne\emptyset\Rightarrow d\left(A,B\right)=0$は成り立つが逆は一般的に成り立たない。
また$A,B$が共に閉集合でも逆は一般的に成り立たない。

集合同士が交わらなくても距離が0になることがあるということである。

$\Rightarrow$

条件より、$A\cap B\ne\emptyset$なのである$x\in A\cap B$が存在するので$x\in A\land x\in B$となる。。
このとき、$d\left(A,B\right)=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\} =d\left(x,x\right)=0$
となるので$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$は一般的に成り立たない

反例で示す。
全体集合を$\mathbb{R}$として距離を通常距離$d$の距離空間$\left(\mathbb{R},d\right)$とする。
このとき、$A=\left(0,1\right),B=\left(1,2\right)$とすると、$d\left(\left(0,1\right),\left(1,2\right)\right)=0$であり、$\left(0,1\right)\cap\left(1,2\right)=\emptyset$である。
従って$\Leftarrow$は一般的に成り立たない。

$A,B$が共に閉集合でも$\Leftarrow$は一般的に成り立たない

反例で示す。
全体集合を$\mathbb{R}^{2}$として距離を通常距離$d$の距離空間$\left(\mathbb{R}^{2},d\right)$とする。
$A=\left\{ \left(x,y\right);y=e^{-x}\right\} ,B=\left\{ \left(x,y\right);y=0\right\} $とすると$A,B$は共に閉集合である。
このとき、$d\left(A,B\right)=0$であるが、$A\cap B=\emptyset$である。
従って$A,B$が共に閉集合でも$\Leftarrow$は一般的に成り立たない。