距離空間ならば正規空間

\(\Rightarrow\)

互いに素な任意の閉集合\(F_{1},F_{2}\in X,F_{1}\cap F_{2}=\emptyset\)と任意の点\(x\in X\)に対し、\(d\left(x,F_{1}\right)+d\left(x,F_{2}\right)>0\)である。
ここで関数\(f\left(x\right)\)を
\[ f\left(x\right)=\frac{d\left(x,F_{1}\right)}{d\left(x,F_{1}\right)+d\left(x,F_{2}\right)} \] とすれば\(d\left(x,F_{1}\right),d\left(x,F_{2}\right)\)は\(x\)に関して連続で分母も0にならないので\(f\left(x\right)\)も連続となる。
\(f\left(x\right)\)は\(0\leq f\left(x\right)\leq1\)で\(x\in F_{1}\leftrightarrow f\left(x\right)=0\Leftrightarrow F_{1}=\left\{ x;f\left(x\right)=0\right\} \)となり\(x\in F_{2}\leftrightarrow f\left(x\right)=1\Leftrightarrow F_{2}=\left\{ x;f\left(x\right)=1\right\} \)となる。
また、\(f\left(F_{1}\right)=\left\{ 0\right\} \Rightarrow f^{\bullet}f\left(F_{1}\right)=f^{\bullet}\left(\left\{ 0\right\} \right)\Rightarrow F_{1}\supseteq f^{\bullet}\left(\left\{ 0\right\} \right)\)となり、明らかに\(F_{1}\subseteq f^{\bullet}\left(\left\{ 0\right\} \right)\)なので\(F_{1}=f^{\bullet}\left(\left\{ 0\right\} \right)\)となる。
同様に、\(f\left(F_{2}\right)=\left\{ 1\right\} \Rightarrow f^{\bullet}f\left(F_{2}\right)=f^{\bullet}\left(\left\{ 1\right\} \right)\Rightarrow F_{2}\supseteq f^{\bullet}\left(\left\{ 1\right\} \right)\)となり、明らかに\(F_{2}\subseteq f^{\bullet}\left(\left\{ 1\right\} \right)\)なので\(F_{2}=f^{\bullet}\left(\left\{ 1\right\} \right)\)となる。
ここで、\(U_{1}=f^{\bullet}\left(\left[0,\frac{1}{2}\right)\right),U_{2}=f^{\bullet}\left(\left(\frac{1}{2},1\right]\right)\)とおくと、\(f\)は連続より開集合の逆像は開集合であるので、開集合\(U_{1},U_{2}\in\mathcal{O}\)となる。
このとき、\(F_{1}=f^{\bullet}\left(\left\{ 0\right\} \right)\subseteq f^{\bullet}\left(\left[0,\frac{1}{2}\right)\right)=U_{1},F_{2}=f^{\bullet}\left(\left\{ 1\right\} \right)\subseteq f^{\bullet}\left(\left(\frac{1}{2},1\right]\right)=U_{2}\)となり\(U_{1}\cap U_{2}=f^{\bullet}\left(\left[0,\frac{1}{2}\right)\right)\cap f^{\bullet}\left(\left(\frac{1}{2},1\right]\right)=f^{\bullet}\left(\left[0,\frac{1}{2}\right)\cap\left(\frac{1}{2},1\right]\right)=f^{\bullet}\left(\emptyset\right)=\emptyset\)となるので\(T_{4}\)空間となる。
また、距離空間なので\(T_{1}\)空間である。
従って\(T_{1}\)空間かつ\(T_{4}\)空間なので正規空間となり、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
上限位相は正規空間であるが距離空間ではない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。