距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間ならば第1可算公理を満たす
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならば第1可算公理を満たす。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならば第1可算公理を満たす。
逆は一般的に成り立たない。
\(\Rightarrow\)
任意の\(x\in X\)に対し、\(x\)での基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)を\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ B\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} \)とおけば\(\mathcal{B}_{x}\)は高々可算濃度なので第1可算公理を満たす。故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
反例で示す。上限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)を\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ \left(x-\frac{1}{n},x\right];n\in\mathbb{N}\right\} \)とすれば\(\mathcal{B}_{x}\)は高々可算濃度なので第1可算公理を満たすが、距離化不可能である。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。
ページ情報
| タイトル | 距離空間ならば第1可算公理を満たす |
| URL | https://www.nomuramath.com/od3mdqpb/ |
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距離空間での連続を開近傍を使って表現
\[
\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)
\]
距離空間での開集合と点列の収束
距離空間ならば第1可算空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならば第1可算空間となる。
集合同士が交わるならば距離は0
\[
A\cap B\ne\emptyset\Rightarrow d\left(A,B\right)=0
\]