位相空間での閉集合系による位相
位相空間での閉集合系による位相
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、閉集合系を\(\mathcal{F}\)とするとき次の3条件を満たす。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、閉集合系を\(\mathcal{F}\)とするとき次の3条件を満たす。
(a)空集合、全体集合
\[ \emptyset,X\in\mathcal{F} \](b)閉集合の有限和集合
\[ F_{1},\cdots,F_{n}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\in\mathcal{F} \](c)閉集合の積集合
\[ \forall\lambda_{0}\in\Lambda,F_{\lambda_{0}}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}\in\mathcal{F} \]位相空間になるためには
\[ \emptyset,X\in\mathcal{O} \] \[ O_{1},\cdots,O_{n}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k=1}^{n}O_{k}\in\mathcal{O} \] \[ \forall\lambda_{0}\in\Lambda,O_{\lambda_{0}}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O} \] の3つが成り立てばいいので閉集合系\(\mathcal{F}\)でこれを表せばいい。
\(X\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\emptyset^{c}\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\emptyset\in\mathcal{F}\)
故に\(\emptyset,X\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\)\(\emptyset,X\in\mathcal{F}\)となる。
\begin{align*} O_{1},\cdots,O_{n}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k=1}^{n}O_{k}\in\mathcal{O} & \Leftrightarrow O_{1}^{c},\cdots,O_{n}^{c}\in\mathcal{F}\rightarrow\left(\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\right)^{c}\in\mathcal{O}\\ & \Leftrightarrow F_{1},\cdots,F_{n}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\in\mathcal{F} \end{align*} となる。
故に開集合の有限積集合と閉集合の有限和集合は同値となる。
\begin{align*} \forall\lambda_{0}\in\Lambda,O_{\lambda_{0}}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O} & \Leftrightarrow\forall\lambda_{0}\in\Lambda,F_{\lambda_{0}}^{c}\in\mathcal{O}\rightarrow\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}^{c}\right)^{c}\in\mathcal{O}\\ & \Leftrightarrow\forall\lambda_{0}\in\Lambda,F_{\lambda_{0}}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}\in\mathcal{F} \end{align*} となる。
故に開集合の和集合と閉集合の積集合は同値となる。
\[ \emptyset,X\in\mathcal{O} \] \[ O_{1},\cdots,O_{n}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k=1}^{n}O_{k}\in\mathcal{O} \] \[ \forall\lambda_{0}\in\Lambda,O_{\lambda_{0}}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O} \] の3つが成り立てばいいので閉集合系\(\mathcal{F}\)でこれを表せばいい。
(a)
\(\emptyset\in\mathcal{O}\Leftrightarrow X^{c}\in\mathcal{O}\Leftrightarrow X\in\mathcal{F}\)\(X\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\emptyset^{c}\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\emptyset\in\mathcal{F}\)
故に\(\emptyset,X\in\mathcal{O}\Leftrightarrow\)\(\emptyset,X\in\mathcal{F}\)となる。
(b)
開集合の補集合は閉集合なので\(O_{k}^{c}=F_{k}\)とおくと、\begin{align*} O_{1},\cdots,O_{n}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcap_{k=1}^{n}O_{k}\in\mathcal{O} & \Leftrightarrow O_{1}^{c},\cdots,O_{n}^{c}\in\mathcal{F}\rightarrow\left(\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\right)^{c}\in\mathcal{O}\\ & \Leftrightarrow F_{1},\cdots,F_{n}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\in\mathcal{F} \end{align*} となる。
故に開集合の有限積集合と閉集合の有限和集合は同値となる。
(c)
開集合の補集合は閉集合なので\(O_{k}^{c}=F_{k}\)とおくと、\begin{align*} \forall\lambda_{0}\in\Lambda,O_{\lambda_{0}}\in\mathcal{O}\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}\in\mathcal{O} & \Leftrightarrow\forall\lambda_{0}\in\Lambda,F_{\lambda_{0}}^{c}\in\mathcal{O}\rightarrow\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}^{c}\right)^{c}\in\mathcal{O}\\ & \Leftrightarrow\forall\lambda_{0}\in\Lambda,F_{\lambda_{0}}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_{\lambda}\in\mathcal{F} \end{align*} となる。
故に開集合の和集合と閉集合の積集合は同値となる。
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これらより、(a),(b),(c)の3条件を満たせばいい。ページ情報
タイトル | 位相空間での閉集合系による位相 |
URL | https://www.nomuramath.com/ntbqqdqm/ |
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べき乗を含む0から∞までの定積分
\[
\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt
\]
一様コーシー列の定義
\[
\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon
\]
分母の形に気付くかな
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=?
\]
集合同士が交わるならば距離は0
\[
A\cap B\ne\emptyset\Rightarrow d\left(A,B\right)=0
\]