導集合・孤立点全体の集合の別表現
導集合・孤立点全体の集合の別表現
位相空間\((X,\mathcal{O})\)、部分集合\(A\subseteq X\)として相対位相を\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)とする。
ここで\(\mathcal{O}_{A}=\left\{ O\cap A;O\in\mathcal{O}\right\} \)である。
\[ A^{d}=\left\{ x\in A;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}_{A},\right\} \cup\left(A^{f}\setminus A\right) \]
\[ A^{s}=\left\{ x\in A;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}_{A}\right\} \]
\(A^{s}\)は孤立点全体の集合
位相空間\((X,\mathcal{O})\)、部分集合\(A\subseteq X\)として相対位相を\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)とする。
ここで\(\mathcal{O}_{A}=\left\{ O\cap A;O\in\mathcal{O}\right\} \)である。
(1)導集合
導集合は次で表される。\[ A^{d}=\left\{ x\in A;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}_{A},\right\} \cup\left(A^{f}\setminus A\right) \]
(2)孤立点全体の集合
孤立点全体の集合は次で表される。\[ A^{s}=\left\{ x\in A;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}_{A}\right\} \]
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\(A^{d}\)は導集合\(A^{s}\)は孤立点全体の集合
位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とする。
このとき、\(\left\{ a,b\right\} \)の導集合\(\left\{ a,b\right\} ^{d}\)と孤立点全体の集合\(\left\{ a,b\right\} ^{s}\)を求める。
内部は\(\left\{ a,b\right\} ^{i}=\left\{ a\right\} \)、外部は\(\left\{ a,b\right\} ^{e}=\left\{ a,b\right\} ^{ci}=\left\{ c\right\} ^{i}=\emptyset\)より、境界は
\[ \left\{ a,b\right\} ^{f}=\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a,b\right\} ^{i}\setminus\left(a,b\right)^{e}=\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a\right\} \setminus\emptyset=\left\{ b,c\right\} \] となるので、
\begin{align*} \left\{ a,b\right\} ^{f}\setminus\left\{ a,b\right\} & =\left\{ b,c\right\} \setminus\left\{ a,b\right\} \\ & =\left\{ c\right\} \end{align*} となる。
また\(\left\{ a,b\right\} \)上の相対位相は\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)より、
\[ A^{d}=\emptyset\cup\left(\left\{ a,b\right\} ^{f}\setminus\left\{ a,b\right\} \right)=\left\{ c\right\} \] \[ A^{s}=\left\{ a,b\right\} \] となる。
また相対位相より孤立点全体の集合を求めて、導集合は\(\left\{ a,b\right\} ^{d}=\left\{ a,b\right\} ^{a}\setminus\left\{ a,b\right\} ^{s}\)=\(\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a,b\right\} =\left\{ c\right\} \)とも求められる。
このとき、\(\left\{ a,b\right\} \)の導集合\(\left\{ a,b\right\} ^{d}\)と孤立点全体の集合\(\left\{ a,b\right\} ^{s}\)を求める。
内部は\(\left\{ a,b\right\} ^{i}=\left\{ a\right\} \)、外部は\(\left\{ a,b\right\} ^{e}=\left\{ a,b\right\} ^{ci}=\left\{ c\right\} ^{i}=\emptyset\)より、境界は
\[ \left\{ a,b\right\} ^{f}=\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a,b\right\} ^{i}\setminus\left(a,b\right)^{e}=\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a\right\} \setminus\emptyset=\left\{ b,c\right\} \] となるので、
\begin{align*} \left\{ a,b\right\} ^{f}\setminus\left\{ a,b\right\} & =\left\{ b,c\right\} \setminus\left\{ a,b\right\} \\ & =\left\{ c\right\} \end{align*} となる。
また\(\left\{ a,b\right\} \)上の相対位相は\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)より、
\[ A^{d}=\emptyset\cup\left(\left\{ a,b\right\} ^{f}\setminus\left\{ a,b\right\} \right)=\left\{ c\right\} \] \[ A^{s}=\left\{ a,b\right\} \] となる。
また相対位相より孤立点全体の集合を求めて、導集合は\(\left\{ a,b\right\} ^{d}=\left\{ a,b\right\} ^{a}\setminus\left\{ a,b\right\} ^{s}\)=\(\left\{ a,b,c\right\} \setminus\left\{ a,b\right\} =\left\{ c\right\} \)とも求められる。
(1)
導集合の定義より、\begin{align*} A^{d} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in A;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset\right\} \cup\left\{ x\in A^{c};\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in A;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\cap\left\{ x\right\} ^{c}\ne\emptyset\right\} \cup\left\{ x\in A^{c};\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in A;\forall V_{x}\in\mathcal{O}_{A},V_{x}\cap\left\{ x\right\} ^{c}\ne\emptyset\right\} \cup\left\{ x\in A^{c};\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\nsubseteq A^{c}\right\} \\ & =\left\{ x\in A;\forall V_{x}\in\mathcal{O}_{A},V_{x}\nsubseteq\left\{ x\right\} \right\} \cup\left\{ x\in A^{c};\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\nsubseteq A^{c}\land U_{x}\nsubseteq A\right\} \\ & =\left\{ x\in A;\lnot\left(\exists V_{x}\in\mathcal{O}_{A},V_{x}\subseteq\left\{ x\right\} \right)\right\} \cup\left\{ x\in A^{c};x\in A^{f}\right\} \\ & =\left\{ x\in A;\lnot\left(\exists V_{x}\in\mathcal{O}_{A},V_{x}=\left\{ x\right\} \right)\right\} \cup\left\{ x\in X;x\in A^{c}\land x\in A^{f}\right\} \\ & =\left\{ x\in A;\lnot\left(\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}_{A},\right)\right\} \cup\left\{ x\in X;x\in A^{f}\setminus A\right\} \\ & =\left\{ x\in A;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}_{A},\right\} \cup\left(A^{f}\setminus A\right) \end{align*}
(2)
孤立点全体の集合の定義より、\begin{align*} A^{s} & =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in A;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A=\left\{ x\right\} \right\} \cup\left\{ x\in A^{c};\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in A;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in A;\exists V_{x}\in\mathcal{O}_{A},V_{x}=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in A;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}_{A}\right\} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 導集合・孤立点全体の集合の別表現 |
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位相空間での開集合・閉集合と内部・境界・閉包・導集合の基本
\[
A^{i}\subseteq A
\]
空集合・全体集合の内部・外部・境界・閉包・導集合・孤立点全体の集合
\[
X^{s}=\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}\right\}
\]
位相空間での内部・外部・境界・閉包・導集合孤立点全体の集合の定義
\[
\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\subseteq A
\]
位相空間で集積点・孤立点を持たないとき
\[
A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\}
\]