直和と直積・デカルト冪の定義

(1)直和

集合\(A,B\)がある。
\(A\cap B=\emptyset\)であるとき、\(A+B=A\cup B\)を\(A\)と\(B\)の直和という。
\(A\cap B\ne\emptyset\)であるときは\(A\)と\(B\)が交わらないようにして\(A+B=\left(A\times\left\{ 1\right\} \right)\cup\left(B,\left\{ 2\right\} \right)\)を\(A\)と\(B\)の直和という。

(2)順序対による有限濃度の直積

集合\(A,B\)があるとき、任意の元、\(a\in A,b\in B\)の順序対\(\left(a,b\right)\)全ての集合を\(A\)と\(B\)の直積といい、\(A\times B\)で表す。
すなわち、
\[ A\times B=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \] である。

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\(n\)個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\)の直積は順序対を使って、
\begin{align*} \prod_{k=1}^{n}A_{k} & :=A_{1}\times A_{2}\times\cdots\times A_{n}\\ & =\left\{ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right);a_{k}\in A_{k},k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \end{align*} となる。
ただし、この順序対を使った表現では\(n\)が有限ではない場合には適用できないので注意が必要である。
\(A_{k}=A\)の場合は\(A^{n}\)とも表される。

(3)写像による任意濃度の直積

\(n\)個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\)の直積は写像\(f\)を使って、
\[ \prod_{k=1}^{n}A_{k}=\left\{ f:\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}A_{k};f\left(k\right)\in A_{k},k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \] と表される。
これは、\(f_{k}:=f\left(k\right)\)とおくと、
\[ \prod_{k=1}^{n}A_{k}=\left\{ \left(f_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} };f_{k}\in A_{k},k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \]

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集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の直積は、
\[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda},\lambda\in\Lambda\right\} \] となる。
この写像を使った表現では\(\Lambda\)の濃度は有限でも不可算無限でも適用できる。
これは、\(f_{\lambda}:=f\left(\lambda\right)\)とおくと、
\[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ \left(f_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda};f_{\lambda}\in A_{\lambda},\lambda\in\Lambda\right\} \] となる。
\(A_{\lambda}=A\)の場合は\(A^{\Lambda}\)とも表される。

(3)デカルト冪

集合\(A\)同士の直積を\(A\)のデカルト冪という。
非負整数\(n\in\mathbb{N}_{0}\)に対し、
\begin{align*} A^{n} & =\prod_{\text{k=1}}^{n}A\\ & =\underbrace{A\times A\times\cdots\times A}_{n}\\ & =\left\{ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right);a_{k}\in A,k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \end{align*} となり、添字集合\(\Lambda\)に対し、
\begin{align*} A^{\Lambda} & =\prod_{\lambda\in\Lambda}A\\ & =\left\{ \left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda};a_{\lambda}\in A,\lambda\in\Lambda\right\} \\ & =\mathrm{Map}\left(\Lambda,A\right) \end{align*} は\(\Lambda\)から\(A\)への写像全体の集合となる。