射影と成分への射影の定義
射影と成分への射影の定義
このとき、写像
\[ \pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M} \] を\(M\)上の射影\(\pi_{M}\)という。
添え字集合\(M\)が一元集合\(M=\left\{ \mu\right\} \)のときは射影\(\pi_{M}\)は射影\(\pi_{\mu}\)とも書かれ、成分への射影となる。
各直積因子\(A_{\mu}\)に対し、全射
\[ \pi_{\mu}:\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\rightarrow A_{\mu},\left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto a_{\mu} \] を第\(\mu\)成分への射影という。
(1)射影
集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)あるとき部分集合\(M\subseteq\Lambda\)を考える。このとき、写像
\[ \pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M} \] を\(M\)上の射影\(\pi_{M}\)という。
添え字集合\(M\)が一元集合\(M=\left\{ \mu\right\} \)のときは射影\(\pi_{M}\)は射影\(\pi_{\mu}\)とも書かれ、成分への射影となる。
(2)成分への射影
直積\(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)があるとき、各\(A_{\lambda}\)を直積因子という。各直積因子\(A_{\mu}\)に対し、全射
\[ \pi_{\mu}:\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\rightarrow A_{\mu},\left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto a_{\mu} \] を第\(\mu\)成分への射影という。
集合\(A,B\)があり直積集合\(A\times B\)から\(A\)への写像\(\pi_{A}:A\times B\rightarrow A,\left(a,b\right)\mapsto a\)は\(A\)成分への射影となる。
ページ情報
タイトル | 射影と成分への射影の定義 |
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P\lor\left(Q\land R\right)\Rightarrow P\lor Q
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量化記号(全称命題・存在命題)の定義
\[
\forall x\in X,P\left(x\right)\Leftrightarrow\forall x,x\in X\rightarrow P\left(x\right)
\]
交換子が定数になるときの性質
\[
\left[A^{n},B\right]=n\left[A,B\right]A^{n-1}
\]
2項係数の飛び飛びの総和
\[
\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right)=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\left(1+\omega_{m}^{j}\right)^{mn}\left(\omega_{m}^{j}\right)^{-l}
\]