射影と成分への射影の定義
射影と成分への射影の定義
このとき、写像
\[ \pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M} \] を\(M\)上の射影\(\pi_{M}\)という。
添え字集合\(M\)が一元集合\(M=\left\{ \mu\right\} \)のときは射影\(\pi_{M}\)は射影\(\pi_{\mu}\)とも書かれ、成分への射影となる。
各直積因子\(A_{\mu}\)に対し、全射
\[ \pi_{\mu}:\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\rightarrow A_{\mu},\left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto a_{\mu} \] を第\(\mu\)成分への射影という。
(1)射影
集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)あるとき部分集合\(M\subseteq\Lambda\)を考える。このとき、写像
\[ \pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M} \] を\(M\)上の射影\(\pi_{M}\)という。
添え字集合\(M\)が一元集合\(M=\left\{ \mu\right\} \)のときは射影\(\pi_{M}\)は射影\(\pi_{\mu}\)とも書かれ、成分への射影となる。
(2)成分への射影
直積\(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)があるとき、各\(A_{\lambda}\)を直積因子という。各直積因子\(A_{\mu}\)に対し、全射
\[ \pi_{\mu}:\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\rightarrow A_{\mu},\left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto a_{\mu} \] を第\(\mu\)成分への射影という。
集合\(A,B\)があり直積集合\(A\times B\)から\(A\)への写像\(\pi_{A}:A\times B\rightarrow A,\left(a,b\right)\mapsto a\)は\(A\)成分への射影となる。
ページ情報
タイトル | 射影と成分への射影の定義 |
URL | https://www.nomuramath.com/ipsjlej7/ |
SNSボタン |
ガンマ関数を2つ含む定積分でカタラン定数が出てきます
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\Gamma\left(1-x\right)\Gamma\left(1+x\right)dx=?
\]
5次式の因数分解
\[
x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\text{を因数分解せよ}
\]
2項係数の微分
\[
\frac{d}{dx}C(x,y) =C(x,y)\left(\psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right)
\]
複雑な2重根号を含む定積分
\[
\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}dx=?
\]