2項関係の性質
2項関係の性質
\[ a=b\Rightarrow aRb\land bRa \] が成り立つ。
\[ aRb\land bRa\Leftrightarrow a=b \] が成り立つ。
(1)
対称律・推移律・連続律を満たすなら反射律を満たす。(2)
反射律が成り立つとき、反対称律の逆\[ a=b\Rightarrow aRb\land bRa \] が成り立つ。
(3)
反射律・反対称律が成り立つとき、\[ aRb\land bRa\Leftrightarrow a=b \] が成り立つ。
(1)
対称律・推移律・連続律を満たすとき、\begin{align*} \top & \Leftrightarrow\forall a\exists b,aRb\land aRb\\ & \Leftrightarrow\forall a\exists b,aRb\land bRa\\ & \Rightarrow\forall a,aRa \end{align*} となり、\(\forall a,aRa\)は真となるので反射律を満たす。
(2)
反射律\(aRa\)が成り立っているので、\begin{align*} a=b & \Leftrightarrow\left(aRa\land bRb\right)\land a=b\\ & \Leftrightarrow\left(aRa\land a=b\right)\land\left(bRb\land b=a\right)\\ & \Leftrightarrow\left(aRb\land a=b\right)\land\left(bRa\land b=a\right)\\ & \Leftrightarrow\left(aRb\land bRa\right)\land a=b\\ & \Rightarrow aRb\land bRa \end{align*} となり題意は成り立つ。
(3)
反射律が成り立っているとき、(2)より\(a=b\Rightarrow aRb\land bRa\)が成り立ち、反対称律が成り立っているとき、\(aRb\land bRa\Rightarrow a=b\)が成り立つ。従って反射律・反対称律が成り立つとき、\(aRb\land bRa\Leftrightarrow a=b\)が成り立つ。
ページ情報
タイトル | 2項関係の性質 |
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隣接関係の定義
\[
\forall x,y\in X,x\nsim x\land\left(x\sim y\rightarrow y\sim x\right)
\]
同値関係と順序関係(前順序・弱順序・半順序・全順序・整列順序・狭義半順序・狭義全順序)の定義
集合の色々な2項関係(反射律・非反射律・余反射律・対称律・反対称律・非対称律・推移律・完全律・3分律・ユークリッド律・連続律・集合律・整礎律・外延律の定義)の定義
\[
\forall a\in X,a
\]
自明な同値関係と相等関係
\[
\forall x,y\in X,x\sim y
\]