順序写像・単調写像・順序反映・順序埋め込み・順序同型写像の定義
順序写像・単調写像・順序反映・順序埋め込み・順序同型写像の定義
\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)を順序集合として、\(f:X\rightarrow Y\)を写像とする。
または準同型写像ともいう。
また順序単射ともいうが、順序写像かつ単射とは異なるので注意。
順序同型写像が存在するとき、順序同型という。
\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)が順序同型のとき\(\left(X,\preceq_{X}\right)\simeq\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)で表す。
\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)を順序集合として、\(f:X\rightarrow Y\)を写像とする。
(1)順序を保つ(順序写像)
任意の\(a,b\in X\)に対し、\(a\preceq_{X}b\Rightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)\)となるとき\(f\)を順序を保つ写像または順序写像という。(2)順序を逆にする
任意の\(a,b\in X\)に対し、\(a\preceq_{X}b\Rightarrow f\left(b\right)\preceq_{Y}f\left(a\right)\)となるとき\(f\)を順序を逆にする写像という。(3)単調写像
順序を保つ又は順序を逆にする写像を単調写像という。または準同型写像ともいう。
(4)順序を反映する(順序単射)
任意の\(a,b\in X\)に対し、\(f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)\Rightarrow a\preceq_{X}b\)となるとき\(f\)を順序を反映する写像という。また順序単射ともいうが、順序写像かつ単射とは異なるので注意。
(5)順序埋め込み
任意の\(a,b\in X\)に対し、\(a\preceq_{X}b\Leftrightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)\)となるとき\(f\)を順序埋め込み写像という。(6)順序同型写像
順序埋め込みで全単射な写像を順序同型写像という。順序同型写像が存在するとき、順序同型という。
\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)が順序同型のとき\(\left(X,\preceq_{X}\right)\simeq\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)で表す。
順序単射ならば単射となる。
順序写像かつ順序単射であることと、順序埋め込み写像は同値である。
順序写像かつ順序単射であることと、順序埋め込み写像は同値である。
(1)順序を保つが反映しない写像
\(X=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \right\} ,Y=\left\{ 1,2\right\} \)として、\(f:X\rightarrow Y\)を\(f\left(\left\{ a\right\} \right)=1,f\left(\left\{ b\right\} \right)=2\)として\(\preceq_{X}\Leftrightarrow\subseteq,\preceq_{Y}\Leftrightarrow\leq\)とする。このとき\(\left\{ a\right\} \preceq_{X}\left\{ a\right\} \Leftrightarrow\left\{ a\right\} \subseteq\left\{ a\right\} \Rightarrow f\left(\left\{ a\right\} \right)\preceq_{Y}f\left(\left\{ a\right\} \right)\Leftrightarrow1\leq1,\left\{ b\right\} \preceq_{X}\left\{ b\right\} \Leftrightarrow\left\{ b\right\} \subseteq\left\{ b\right\} \Rightarrow f\left(\left\{ b\right\} \right)\preceq_{Y}f\left(\left\{ b\right\} \right)\Leftrightarrow2\leq2\)となり、\(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \)は比較不能なので順序を保つが、\(f\left(\left\{ a\right\} \right)\preceq_{Y}f\left(\left\{ b\right\} \right)\Leftrightarrow1\leq2\Rightarrow\left\{ a\right\} \subseteq\left\{ b\right\} \Leftrightarrow\bot\)となるので順序は反映しない。
(1)-2
自然数全体に整除関係を入れた半順序集合\(\left(\mathbb{N},\mid\right)\)と自然数全体に通常の大小関係を入れた半順序集合\(\left(\mathbb{N}',\leq\right)\)があり写像\(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}'\)とする。このとき、任意の自然数\(a,b\in\mathbb{N}\)に対し、\(a\mid b\rightarrow a\leq b\)は成り立つが、\(a\leq b\rightarrow a\mid b\)は一般的に成り立たないので
順序を保つが反映しない写像となる。
(2)順序を保たないが反映する写像
\(X=\left\{ 1,2\right\} ,Y=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \right\} \)として、\(f:X\rightarrow Y\)を\(f\left(1\right)=\left\{ a\right\} ,f\left(2\right)=\left\{ b\right\} \)として\(\preceq_{X}\Leftrightarrow\leq,\preceq_{Y}\Leftrightarrow\subseteq\)とする。このとき\(1\preceq_{X}2\)であるが\(f\left(1\right)=\left\{ a\right\} ,f\left(2\right)=\left\{ b\right\} \)は比較不能なので順序を保たない。
しかし、\(\left\{ a\right\} \subseteq\left\{ a\right\} \Leftrightarrow f\left(1\right)\preceq_{Y}f\left(1\right)\Rightarrow1\leq1,\left\{ b\right\} \subseteq\left\{ b\right\} \Leftrightarrow f\left(2\right)\preceq_{Y}f\left(2\right)\Rightarrow2\leq2\)となり、\(f\left(1\right)\preceq_{Y}f\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{ a\right\} \subseteq\left\{ b\right\} \Leftrightarrow\bot,f\left(2\right)\preceq_{Y}f\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{ b\right\} \subseteq\left\{ a\right\} \Leftrightarrow\bot\)より\(f\left(1\right)\)と\(f\left(2\right)\)は比較不能なので順序は反映する。
(2)-2
自然数全体に通常の大小関係を入れた半順序集合\(\left(\mathbb{N},\leq\right)\)と自然数全体に整除関係を入れた半順序集合\(\left(\mathbb{N}',\mid\right)\)があり写像\(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}'\)とする。このとき、任意の自然数\(a,b\in\mathbb{N}\)に対し、\(a\mid b\rightarrow a\leq b\)は成り立つが、\(a\leq b\rightarrow a\mid b\)は一般的に成り立たないので、順序を保たないが反映する写像となる。
(3)順序埋め込みであるが順序同型写像でない例
\(X=\left\{ a,b\right\} ,Y=\left\{ c\right\} \)として、\(f:X\rightarrow Y\)を\(f\left(a\right)=f\left(b\right)=c\)として\(a\preceq_{X}b\Leftrightarrow b\preceq_{X}a\Leftrightarrow a\preceq_{X}a\Leftrightarrow b\preceq_{X}b\Leftrightarrow\top,c\preceq_{Y}c\Leftrightarrow\top\)とする。このとき、\(f\left(a\right)\preceq_{X}f\left(a\right)\Leftrightarrow f\left(a\right)\preceq_{X}f\left(b\right)\Leftrightarrow f\left(b\right)\preceq_{X}f\left(a\right)\Leftrightarrow f\left(b\right)\preceq_{X}f\left(b\right)\Leftrightarrow c\preceq_{Y}c\)なので順序埋め込み写像であるが単射でないので順序同型写像とはならない。
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| タイトル | 順序写像・単調写像・順序反映・順序埋め込み・順序同型写像の定義 |
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有向集合と有向点列の定義
\[
\forall a,b\in\Lambda,\exists c\in\Lambda,a\preceq c\land b\preceq c
\]
順序写像・順序単射・順序埋め込み写像の合成写像
順序写像同士の合成写像は順序写像になる。
部分順序集合
\[
b_{1}\preceq_{A}b_{2}\Leftrightarrow b_{1}\preceq_{B}b_{2}
\]
超限帰納法
\[
P\left(\min X\right)\land\forall x\in X,\left(\forall a\prec x,P\left(a\right)\right)\rightarrow P\left(x\right)\Rightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)
\]