\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)を順序集合とする。

反射律

恒等写像\(id_{X}:X\rightarrow X\)をとれば\(id_{X}\)は順序写像かつ順序反映写像なので順序埋め込み写像となり、全単射でもあるので順序同型写像となる。
従って\(\left(X,\preceq_{X}\right)\simeq\left(X,\preceq_{X}\right)\)となる。

対称律

\(\left(X,\preceq_{X}\right)\simeq\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)のとき、順序同型なので順序同型写像\(f:X\rightarrow Y\)が存在する。
また全単射なので逆写像\(f^{\bullet}:Y\rightarrow X\)が存在し、逆写像も順序埋め込み写像となるので順序同型写像になる。
故に\(\left(X,\preceq_{X}\right)\simeq\left(Y,\preceq_{Y}\right)\Rightarrow\left(Y,\preceq_{Y}\right)\simeq\left(X,\preceq_{X}\right)\)となる。

推移律

順序同型写像\(f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow Z\)があるとき、\(g\circ f:X\rightarrow Z\)も全単射で順序埋め込みになるので順序同型写像になる。
なぜなら、全単射同士の合成は全単射となり、任意の\(a,b\in X\)に対し、\(a\preceq b\Leftrightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\Leftrightarrow g\circ f\left(a\right)\preceq g\circ f\left(b\right)\)となるからである。
これより、\(\left(X,\preceq_{X}\right)\simeq\left(Y,\preceq_{Y}\right)\land\left(Y,\preceq_{Z}\right)\simeq\left(Z,\preceq_{Z}\right)\Rightarrow\left(X,\preceq_{X}\right)\simeq\left(Z,\preceq_{Z}\right)\)となる。

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これより、反射律・対称律・推移律を満たすので、同値関係となる。