狭義半順序関係の性質
狭義半順序関係の性質
(1)
狭義半順序関係(非反射律・推移律)を満たすとき非対称律も満たす。(2)
狭義半順序関係を満たすとき\(aRb\land bRa\Leftrightarrow\bot\)と\(aRb\land a=b\Leftrightarrow\bot\)が成り立つ。(3)
狭義半順序関係を満たすとき3分律は\(aRb\lor bRa\lor a=b\)のみを満たせばいい。(1)
非反射律・推移律を満たすとき、\begin{align*} \top & \Leftrightarrow aRb\land bRa\rightarrow aRa\\ & \Leftrightarrow aRb\land bRa\rightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow aRb\rightarrow\bot\lor\lnot\left(bRa\right)\\ & \Leftrightarrow aRb\rightarrow\lnot\left(bRa\right) \end{align*} となるので、非対称律も満たす。
(2)
推移律より、\begin{align*} aRb\land bRa & \Rightarrow aRa\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となり\(aRb\land bRa\Rightarrow\bot\)となるので、\(aRb\land bRa\Leftrightarrow\bot\)となる。
非反射律より、
\begin{align*} aRb\land a=b & \Leftrightarrow aRa\land a=b\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となる。
これらより、題意は成り立つ。
(3)
3分律を満たすためには\(aRb,bRa,a=b\)の3つのうち1つのみが真にならなければいけない。しかし、(2)より、
\begin{align*} & \left(aRb\lor bRa\lor a=b\right)\land\lnot\left(aRb\land bRa\right)\land\lnot\left(aRb\land a=b\right)\land\lnot\left(bRa\land a=b\right)\\ \Leftrightarrow & \left(aRb\lor bRa\lor a=b\right)\land\top\land\top\land\top\\ \Leftrightarrow & aRb\lor bRa\lor a=b \end{align*} となるので\(aRb\lor bRa\lor a=b\)のみが成り立てばいい。
ページ情報
タイトル | 狭義半順序関係の性質 |
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隣接関係の定義
\[
\forall x,y\in X,x\nsim x\land\left(x\sim y\rightarrow y\sim x\right)
\]
2項関係の性質
\[
a=b\Rightarrow aRb\land bRa
\]
2つの集合上の二項関係(一意性・全域性)の定義
\[
aRc\land bRc\Rightarrow a=b
\]
集合の色々な2項関係(反射律・非反射律・余反射律・対称律・反対称律・非対称律・推移律・完全律・3分律・ユークリッド律・連続律・集合律・整礎律・外延律の定義)の定義
\[
\forall a\in X,a
\]