順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値
順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値
順序を保ち(順序写像)かつ順序を反映する写像(順序単射)であることと、順序埋め込み写像は同値である。
順序を保ち(順序写像)かつ順序を反映する写像(順序単射)であることと、順序埋め込み写像は同値である。
\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)を順序集合として、\(f:X\rightarrow Y\)を写像とする。
\[ \left\{ a\preceq b\rightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\right\} \land\left\{ f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\rightarrow a\preceq b\right\} \Leftrightarrow a\preceq b\leftrightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right) \] となるので、題意は成り立つ。
\[ \left\{ a\preceq b\rightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\right\} \land\left\{ f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\rightarrow a\preceq b\right\} \Leftrightarrow a\preceq b\leftrightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right) \] となるので、題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値 |
| URL | https://www.nomuramath.com/g19fqqb4/ |
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テューキーの補題
有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。
順序同型は同値関係
順序同型は同値関係(反射律・対称律・推移律)を満たす。
整列集合の基本的な性質
\[
X\left\langle \min X\right\rangle =\emptyset
\]
部分順序集合
\[
b_{1}\preceq_{A}b_{2}\Leftrightarrow b_{1}\preceq_{B}b_{2}
\]