上方集合と下方集合の定義
上方集合と下方集合の定義
\(\left(X,\preceq\right)\)を半順序集合として部分集合\(A\subseteq X\)は空集合でないとする。
\(\left(X,\preceq\right)\)を半順序集合として部分集合\(A\subseteq X\)は空集合でないとする。
(1)上方集合
任意の\(x\in A,y\in X\)に対し、\(x\preceq y\Rightarrow y\in A\)となるとき、すなわち\(\forall x\in A,\forall y\in X\),\(x\preceq y\rightarrow y\in A\)となるとき、\(A\)を上方集合という。(2)下方集合
任意の\(x\in A,y\in X\)に対し、\(y\preceq x\Rightarrow y\in A\)となるとき、すなわち\(\forall x\in A,\forall y\in X\),\(y\preceq x\rightarrow y\in A\)となるとき、\(A\)を下方集合という。半順序集合\(\left(X,\subseteq\right)\)を\(X=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} \right\} \)として順序を包含関係\(\subseteq\)とすると、\(A=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} \right\} \)は上方集合となる。
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\[
a\in A\land b\in B\rightarrow a\preceq b
\]