デデキント切断の定義
デデキント切断の定義
全順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)を次の条件を満たす集合\(A,B\)に分ける。
全順序集合\(\left(X,\preceq\right)\)を次の条件を満たす集合\(A,B\)に分ける。
(a)
\[ X=A\cup B \](b)
\[ A\cap B=\emptyset\land A\ne\emptyset\land B\ne\emptyset \](c)
\[ a\in A\land b\in B\rightarrow a\preceq b \] このとき、組\(\left(A,B\right)\)をデデキント切断という。デデキント切断\(\left(A,B\right)\)は\(A\)に最大元のあるかないかで2通り、\(B\)に最小元があるかないかで2通りの合計4通りに分けられる。
(1)
\(A\)に最大元、\(B\)に最小元がある。(2)
\(A\)には最大元があるが、\(B\)には最小元がない。(3)
\(A\)には最大元がないが、\(B\)には最小元がある。(4)
\(A\)に最大元がなく、\(B\)にも最小元がない。
ページ情報
| タイトル | デデキント切断の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/prq8jifu/ |
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上界(下界)・上限(下限)・最大元(最小元)・極大元(極小元)の定義
\[
\min U=\sup A
\]
整列集合の基本的な性質
\[
X\left\langle \min X\right\rangle =\emptyset
\]
切片の定義
\[
X\left\langle a\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec a\right\}
\]
部分順序集合
\[
b_{1}\preceq_{A}b_{2}\Leftrightarrow b_{1}\preceq_{B}b_{2}
\]