(1)

\(\max A\)と\(\min B\)が存在すると仮定する。
このとき、デデキント切断なので\(\max A<\min B\)となるが、\(c=\frac{\max A+\min B}{2}\)とおくと、\(c\in\mathbb{Q}\)であるが、\(\max A<c<\min B\)となる。
これより、\(\max A<c\)より、\(c\notin A\)となり、\(c<\min B\)より、\(c\notin B\)となるので、\(c\notin A\cup B=\mathbb{Q}\)となり矛盾。
故に\(A\)に最大元、\(B\)に最小元があることはない。

(2)

例で示す。
\[ A=\left\{ a\in\mathbb{Q};a\leq1\right\} ,B=\left\{ b\in\mathbb{Q};1<b\right\} \]

(3)

例で示す。
\[ A=\left\{ a\in\mathbb{Q};a<1\right\} ,B=\left\{ b\in\mathbb{Q};1\leq b\right\} \]

(4)

例で示す。
\[ A=\left\{ a\in\mathbb{Q};a<\sqrt{2}\right\} ,B=\left\{ b\in\mathbb{Q};\sqrt{2}<b\right\} \]