テューキーの補題

選択公理とツォルンの補題は同値なので、ツォルンの補題とテューキーの補題が同値なのを証明する。

$\Rightarrow$

集合族$\mathcal{A}$を有限性をもち空でなく、包含関係$\subseteq$を順序とする半順序集合$(\mathcal{A},\subseteq )$とする。
このとき$\mathcal{A}$の任意の鎖を$\mathcal{C}$として$C=\bigcup \mathcal{C}$とおき、任意の有限部分集合$D=\{d_1,d_2,\cdots ,d_n\}\subseteq C$をとる。
すると、任意の$i\in \{1,2,\cdots ,n\}$に対しある$A_i\in \mathcal{C}$が存在して、$d_i\in A_i$となる。
また、$\mathcal{C}$は包含関係$\subseteq$を順序とする全順序集合なのでその部分集合$A_1,A_2,\cdots ,A_n$も全順序集合となり、ある$j\in \{1,2,\cdots ,n\}$が存在して、$D\subseteq A_j$となる。
これより、$A_j\in \mathcal{C}$$\subseteq \mathcal{A}$から$A_j\in \mathcal{A}$であり、集合族$\mathcal{A}$は有限性をもつので$D\subseteq A_j\in \mathcal{A}$より$D\in \mathcal{A}$となり、$D$の任意性より$C\in \mathcal{A}$となる。
従って半順序集合$(\mathcal{A},\subseteq )$の任意の鎖$\mathcal{C}$に対して、$C=\bigcup \mathcal{C}$は上界となるので$\mathcal{A}$は帰納的となる。
故にツォルンの補題より$\mathcal{A}$は極大元をもつのでテューキーの補題が成り立つ。

$\Leftarrow$

$(X,⪯)$を帰納的順序集合として$\mathcal{C}$を$X$の鎖全体の集合とすると$\mathcal{C}$は空集合ではない。
このとき、$C\in \mathcal{C}$ならば任意の有限部分集合$A\subseteq C$は$A\in \mathcal{C}$を満たす。
また、部分集合$C\subseteq X$に対し、任意の有限部分集合$A\subseteq C$が$A\in \mathcal{C}$を満たすならば$A$の任意性より、$C\in \mathcal{C}$となる。
これより、$C\in \mathcal{C}\iff A\subseteq C\wedge \left|A\right|<\mathrm{\infty }\to A\in \mathcal{C}$となるので$\mathcal{C}$は有限性をもち、$(\mathcal{C},\subseteq )$にテューキーの補題を使うと、$\mathcal{C}$は極大元$C_0\in \mathcal{C}$をもつ。
また$(X,⪯)$は帰納的で$C_0$は鎖なので$C_0$は$X$に上界$x\in X$をもつ。
このとき、ある$y\in X$が存在し、$x\prec y$を満たすと仮定すると、$y\notin C_0$となるので$C_0\cup \left\{y\right\}⊋C_0$も全順序集合$(C_0\cup \left\{y\right\},⪯)$となり$X$の鎖となるが$C_0$が$(\mathcal{C},\subseteq )$の極大元であることに矛盾。
従って、背理法より任意の$y\in X$に対し、$x\prec y$を満たさないので$x$は極大元となる。
すなわち、帰納的順序集合$(X,⪯)$は極大元$x\in X$をもつ。
故にツォルンの補題が成り立つので$\Leftarrow$が示される。

-

これらより、$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が示されたので$\iff$となり、ツォルンの補題とテューキーの補題が同値であることが示された。
また、選択公理とツォルンの補題は同値なので、選択公理とテューキーの補題が同値であることが示される。