(1)

任意の整数\(a\in\mathbb{Z}\)に対し\(a=\pm1\cdot\pm a\)となるので\(\pm1\mid a\)となる。
故に題意は成り立つ。

(2)

任意の整数\(a\in\mathbb{Z}\)に対し、\(0=a\cdot0\)となるので\(a\mid0\)となる。
故に題意は成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

\(a\mid1\)ならば、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(1=a\cdot n\)を満たす。
このとき、\(a=n=1\)または\(a=n=-1\)のみなので、\(a=\pm1\)となる。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(a=\pm1\)ならば、\(1=\left(\pm1\right)a\)となるので\(a\mid1\)を満たす。
従って、\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(4)

\(\Rightarrow\)

\(0\mid a\)のとき、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(a=0\cdot n\)を満たす。
これを満たすのは\(a=0\)のみである。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(a=0\)ならば、任意の\(n\in\mathbb{Z}\)に対し、\(a=n\cdot0\)となるので\(0\mid a\)を満たす。
従って、\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。