数学その他問題

少しだけ難しい有理化問題

by nomura · 2023年11月20日

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少しだけ難しい有理化問題
次の式を有理化せよ。

\frac{1}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}

\begin{aligned} \frac{1}{2 \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1} & = \frac{(2 \sqrt{2} - (\sqrt{3} + 1))}{(2 \sqrt{2} + \sqrt{3} + 1) (2 \sqrt{2} - (\sqrt{3} + 1))} \\ = \frac{2 \sqrt{2} - (\sqrt{3} + 1)}{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{3} + 1)}^{2}} \\ = \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3} - 1}{8 - (3 + 1 + 2 \sqrt{3})} \\ = \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{3} - 1}{4 - 2 \sqrt{3}} \\ = \frac{(2 \sqrt{2} - \sqrt{3} - 1) (4 + 2 \sqrt{3})}{(4 - 2 \sqrt{3}) (4 + 2 \sqrt{3})} \\ = \frac{8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 4 \sqrt{6} - 10}{4^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}} \\ = \frac{8 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 4 \sqrt{6} - 10}{4} \\ = \frac{4 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6} - 5}{2} \end{aligned}

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タイトル	少しだけ難しい有理化問題
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\sqrt{\frac{n^{2} + 83}{n^{2} + 2}} が整数となる n

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lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}

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を簡単にせよ