5次方程式ですが簡単に解けます
5次方程式ですが簡単に解けます
次の5次方程式を複素数の範囲で解け。
\[ z^{6}=\left(z-1\right)^{6} \]
次の5次方程式を複素数の範囲で解け。
\[ z^{6}=\left(z-1\right)^{6} \]
\begin{align*}
0 & =z^{6}-\left(z-1\right)^{6}\\
& =\left\{ z^{3}+\left(z-1\right)^{3}\right\} \left\{ z^{3}-\left(z-1\right)^{3}\right\} \\
& =\left(z+\left(z-1\right)\right)\left(z^{2}-z\left(z-1\right)+\left(z-1\right)^{2}\right)\left(z-\left(z-1\right)\right)\left(z^{2}+z\left(z-1\right)+\left(z-1\right)^{2}\right)\\
& =\left(2z-1\right)\left(z^{2}-\left(z-1\right)\right)\left(z^{2}+\left(2z-1\right)\left(z-1\right)\right)\\
& =\left(2z-1\right)\left(z^{2}-z+1\right)\left(3z^{2}-3z+1\right)
\end{align*}
となるので\(z=\frac{1}{2},\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}i}{2},\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{6}i\)が解となる。
ページ情報
タイトル | 5次方程式ですが簡単に解けます |
URL | https://www.nomuramath.com/lqugqgq3/ |
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\[
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\]
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\[
z^{3}+z^{2}=36
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\[
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\]