(1)

上極限は
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{k\ge n}{sup}{a}_k$$ であり、$\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{a}_n$は$n$について単調減少数列となる。
従って、任意の$n\in \mathbb{N}$に対し、$\underset{k\ge n}{sup}{a}_k$の値が存在するとき、下に有界であれば単調減少数列なので$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{k\ge n}{sup}{a}_k$の値は存在し下に有界でなければ単調減少数列なのでマイナスの無限となる。
また、ある$n\in \mathbb{N}$が存在し、$\underset{k\ge n}{sup}{a}_k$の値が存在しないとき、上に有界ではないので、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{k\ge n}{sup}{a}_k$はプラスの無限となる。
故に題意は成り立つ。

(2)

下極限は
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{k\ge n}{inf}{a}_k$$ であり、$\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{a}_n$は$n$について単調増加数列となる。
従って、任意の$n\in \mathbb{N}$に対し、$\underset{k\ge n}{inf}{a}_k$の値が存在するとき、上に有界であれば単調増加数列なので$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{k\ge n}{inf}{a}_k$の値は存在し上に有界でなければ単調増加数列なのでプラスの無限となる。
また、ある$n\in \mathbb{N}$が存在し、$\underset{k\ge n}{inf}{a}_k$の値が存在しないとき、下に有界ではないので、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{k\ge n}{inf}{a}_k$はマイナスの無限となる。
故に題意は成り立つ。