(1)

\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)の定義より、
\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},a_{j}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)-\epsilon<a_{k} \end{cases} \] が成り立つ。
これより、
\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\leq-a_{j}\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},-a_{k}<-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)+\epsilon \end{cases} \] ここで\(-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\rightarrow\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\)とすれば、
\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\leq-a_{j}\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},-a_{k}<\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)+\epsilon \end{cases} \] となり、\(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\)の定義になるのでこの式は正しい。
従って、\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)=-\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\)が成り立つので\(\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)が成り立つ。

(2)

(1)より、
\begin{align*} \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right) & =-\left\{ -\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\right\} \\ & =-\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-\left(-a_{n}\right)\right)\\ & =-\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(3)

\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の上限\(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)と下限\(\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)は無限を含めて存在するので、任意の\(n\in\mathbb{N}\)について
\[ \inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n} \] が成り立つ。

(4)

\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)の定義と\(\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)の定義より、
\begin{align*} \max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)=a_{k} & \Leftrightarrow\exists k\in\mathbb{N},\forall j\in\mathbb{N},a_{j}\leq a_{k}\\ & \Leftrightarrow\exists k\in\mathbb{N},\forall j\in\mathbb{N},\left(-a_{k}\right)\leq\left(-a_{j}\right)\\ & \Leftrightarrow\min_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-a_{k} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \min_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right) & =-a_{k}\\ & =-\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。

(5)

(4)より、
\begin{align*} \max_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right) & =-\left\{ -\max_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)\right\} \\ & =-\left\{ \min_{n\in\mathbb{N}}\left(-\left(-a_{n}\right)\right)\right\} \\ & =-\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(6)

\(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)と\(\min_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)が共に存在するなら明らかに成り立つ。

(7)

(1)より、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(-a_{n}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left(-a_{n}\right)\\ & =-\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}\left(a_{n}\right)\\ & =-\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(8)

(2)より、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\left(-a_{n}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}\left(-a_{n}\right)\\ & =-\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left(a_{n}\right)\\ & =-\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(9)

(3)より、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}\left(a_{n}\right)\\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}\left(a_{n}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。