(1)

\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)\)の定義より、
\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},\left|c\right|a_{j}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)-\epsilon<\left|c\right|a_{k} \end{cases} \] が成り立つ。
これより、
\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},a_{j}\leq\frac{1}{\left|c\right|}\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},\frac{1}{\left|c\right|}\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)-\frac{1}{\left|c\right|}\epsilon<a_{k} \end{cases} \] となるので、\(\frac{1}{\left|c\right|}\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)\rightarrow\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right),\frac{1}{\left|c\right|}\epsilon\rightarrow\epsilon\)と置きなおせば、
\[ \begin{cases} \forall j\in\mathbb{N},a_{j}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\\ \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N},\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)-\epsilon<a_{k} \end{cases} \] となり、\(\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)は上限となる。
従って、
\[ \frac{1}{\left|c\right|}\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)=\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \] より、
\[ \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)=\left|c\right|\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \] となるので、
\begin{align*} \sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right) & =\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\sgn\left(c\right)\left|c\right|a_{n}\right)\\ & =\left|c\right|\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(\sgn\left(c\right)a_{n}\right)\\ & =\begin{cases} c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ -c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となり題意は成り立つ。

(2)

(1)より、
\begin{align*} \inf_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right) & =-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(-ca_{n}\right)\\ & =\begin{cases} c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(3)

\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)\)の定義より、
\[ \forall j\in\mathbb{N},\left|c\right|a_{j}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right) \] となるので、
\[ \forall j\in\mathbb{N},a_{j}\leq\frac{1}{\left|c\right|}\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right) \] より、\(\frac{1}{\left|c\right|}\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)\rightarrow\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)と置きなおすと、
\[ \forall j\in\mathbb{N},a_{j}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \] となるので、\(\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)\)は最大元となる。
従って、
\[ \max_{n\in\mathbb{N}}\left(\left|c\right|a_{n}\right)=\left|c\right|\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) \] となり、これより、
\begin{align*} \max_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right) & =\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\sgn\left(c\right)\left|c\right|a_{n}\right)\\ & =\left|c\right|\max_{n\in\mathbb{N}}\left(\sgn\left(c\right)a_{n}\right)\\ & =\begin{cases} c\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ -c\max_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となる。
故に題意は成り立つ。

(4)

(3)より、
\begin{align*} \min_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right) & =-\max_{n\in\mathbb{N}}\left(-ca_{n}\right)\\ & =\begin{cases} c\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & -c>0\\ c\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & -c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\min_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\max_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となる。
故に題意は成り立つ。

(5)

(1)より、
\begin{align*} \limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right) & =\lim_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left(ca_{k}\right)\\ & =\begin{cases} c\lim_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\lim_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(6)

(2)より、
\begin{align*} \liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right) & =\lim_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\left(ca_{n}\right)\\ & =\begin{cases} c\lim_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\lim_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} c\liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\ c\limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\ 0 & c=0 \end{cases} \end{align*} となるので題意は成り立つ。