極限と上極限・下極限との関係

$\Rightarrow$

極限が実数$a\in \mathbb{R}$となるとき、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$となり極限の定義より、$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},N\le n\to |a_n-a|<ϵ$となる。
このとき、
$$\begin{array}{rl}N\le n& \Rightarrow |a_n-a|<ϵ\\ & \iff -ϵ<a_n-a<ϵ\\ & \iff a-ϵ<a_n<a+ϵ\\ & \Rightarrow (a-ϵ\le \underset{k\ge n}{inf}{a}_k<a+ϵ)\wedge (a-ϵ<\underset{k\ge n}{sup}{a}_k\le a+ϵ)\\ & \iff (-ϵ\le \underset{k\ge n}{inf}{a}_k-a<ϵ)\wedge (-ϵ<\underset{k\ge n}{sup}{a}_k-a\le ϵ)\\ & \Rightarrow (-ϵ\le \underset{k\ge n}{inf}{a}_k-a\le ϵ)\wedge (-ϵ\le \underset{k\ge n}{sup}{a}_k-a\le ϵ)\\ & \iff (|\underset{k\ge n}{inf}{a}_k-a|\le ϵ)\wedge (|\underset{k\ge n}{sup}{a}_k-a|\le ϵ)\\ & \Rightarrow (|\underset{k\ge n}{inf}{a}_k-a|<2ϵ)\wedge (|\underset{k\ge n}{sup}{a}_k-a|<2ϵ)\end{array}$$ となる。
途中で$a-ϵ<a_n\to a-ϵ\le \underset{k\ge n}{inf}{a}_k$と$a_n<a+ϵ\to \underset{k\ge n}{sup}{a}_k\le a+ϵ$に注意。
従って$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a=\underset{n\in \mathbb{N}}{lim inf}{a}_n=\underset{n\in \mathbb{N}}{lim sup}{a}_n$が成り立つ。

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$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$のときは、$\mathrm{\forall }M\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},N\le n\to M\le a_n$となり、
$$\begin{array}{rl}N\le n& \Rightarrow M\le a_n\\ & \Rightarrow M\le \underset{k\ge n}{sup}{a}_k\wedge M\le \underset{k\ge n}{inf}{a}_k\end{array}$$ となる。
従って、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{k\ge n}{sup}{a}_k=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{k\ge n}{inf}{a}_k=\mathrm{\infty }$となり$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=\mathrm{\infty }$となる。
同様に$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }$のとき、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=-\mathrm{\infty }$となる。

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これらより、ある拡大実数$a\in [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$が存在し$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$となるとき$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=a$が成り立つので$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

実数$a\in \mathbb{R}$として$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=a$となるとき、任意の$n\in \mathbb{N}$に対し、
$$\underset{k\ge n}{inf}{a}_k\le a_n\le \underset{k\ge n}{sup}{a}_k$$ が成り立つので、$n\to \mathrm{\infty }$の極限をとると、
$$\underset{n\in \mathbb{N}}{lim inf}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\le \underset{n\in \mathbb{N}}{lim sup}{a}_k$$ となり、挟み撃ちの原理より、$\underset{n\in \mathbb{N}}{lim inf}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\in \mathbb{N}}{lim sup}{a}_n$となるので$\Leftarrow$が成り立つ。

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$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=\mathrm{\infty }$のとき、
$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=\mathrm{\infty }& \iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{k\ge n}{inf}{a}_k\\ & \iff \mathrm{\forall }M\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},N\le n\to M\le \underset{k\ge n}{inf}{a}_k\\ & \iff \mathrm{\forall }M\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},N\le n\le k\to M\le a_k\\ & \iff \mathrm{\forall }M\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},N\le k\to M\le a_k\\ & \iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=\mathrm{\infty }& \iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{k\ge n}{sup}{a}_k\\ & \iff \mathrm{\forall }M\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},N\le n\to M\le \underset{k\ge n}{sup}{a}_k\\ & \iff \mathrm{\forall }M\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }N,k\in \mathbb{N},N\le n\le k\wedge M\le a_k\\ & \iff \mathrm{\forall }M\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }k\in \mathbb{N},M\le a_k\end{array}$$ となる。
これより、
$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=\mathrm{\infty }\wedge \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=\mathrm{\infty }& \iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\wedge \mathrm{\forall }M\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }k\in \mathbb{N},M\le a_k\\ & \iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\end{array}$$ となる。
従って、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=\mathrm{\infty }$のとき、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$が成り立つ。
同様に$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=-\mathrm{\infty }$のとき、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }$が成り立つ。

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これらより、ある拡大実数$a\in [-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$が存在し、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{a}_n=a$となるとき、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$となるので$\Leftarrow$が成り立つ。

$\iff$

これらより$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\iff$が成り立つ。