極限と上極限・下極限との関係

\(\Rightarrow\)

極限が実数\(a\in\mathbb{R}\)となるとき、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)となり極限の定義より、\(\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon\)となる。
このとき、
\begin{align*} N\leq n & \Rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon\\ & \Leftrightarrow-\epsilon<a_{n}-a<\epsilon\\ & \Leftrightarrow a-\epsilon<a_{n}<a+\epsilon\\ & \Rightarrow\left(a-\epsilon\leq\inf_{k\geq n}a_{k}<a+\epsilon\right)\land\left(a-\epsilon<\sup_{k\geq n}a_{k}\leq a+\epsilon\right)\\ & \Leftrightarrow\left(-\epsilon\leq\inf_{k\geq n}a_{k}-a<\epsilon\right)\land\left(-\epsilon<\sup_{k\geq n}a_{k}-a\leq\epsilon\right)\\ & \Rightarrow\left(-\epsilon\leq\inf_{k\geq n}a_{k}-a\leq\epsilon\right)\land\left(-\epsilon\leq\sup_{k\geq n}a_{k}-a\leq\epsilon\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left|\inf_{k\geq n}a_{k}-a\right|\leq\epsilon\right)\land\left(\left|\sup_{k\geq n}a_{k}-a\right|\leq\epsilon\right)\\ & \Rightarrow\left(\left|\inf_{k\geq n}a_{k}-a\right|<2\epsilon\right)\land\left(\left|\sup_{k\geq n}a_{k}-a\right|<2\epsilon\right) \end{align*} となる。
途中で\(a-\epsilon<a_{n}\rightarrow a-\epsilon\leq\inf_{k\geq n}a_{k}\)と\(a_{n}<a+\epsilon\rightarrow\sup_{k\geq n}a_{k}\leq a+\epsilon\)に注意。
従って\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a=\liminf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=\limsup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)が成り立つ。

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\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\)のときは、\(\forall M\in\mathbb{R},\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow M\leq a_{n}\)となり、
\begin{align*} N\leq n & \Rightarrow M\leq a_{n}\\ & \Rightarrow M\leq\sup_{k\geq n}a_{k}\land M\leq\inf_{k\geq n}a_{k} \end{align*} となる。
従って、\(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}=\infty,\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}a_{k}=\infty\)となり\(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\)となる。
同様に\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty\)のとき、\(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty\)となる。

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これらより、ある拡大実数\(a\in\left[-\infty,\infty\right]\)が存在し\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)となるとき\(\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)が成り立つので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

実数\(a\in\mathbb{R}\)として\(\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)となるとき、任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し、
\[ \inf_{k\geq n}a_{k}\leq a_{n}\leq\sup_{k\geq n}a_{k} \] が成り立つので、\(n\rightarrow\infty\)の極限をとると、
\[ \liminf_{n\in\mathbb{N}}\leq\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\leq\limsup_{n\in\mathbb{N}}a_{k} \] となり、挟み撃ちの原理より、\(\liminf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

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\(\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\)のとき、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty & \Leftrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}a_{k}\\ & \Leftrightarrow\forall M\in\mathbb{R},\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow M\leq\inf_{k\geq n}a_{k}\\ & \Leftrightarrow\forall M\in\mathbb{R},\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\leq k\rightarrow M\leq a_{k}\\ & \Leftrightarrow\forall M\in\mathbb{R},\exists N\in\mathbb{N},N\leq k\rightarrow M\leq a_{k}\\ & \Leftrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty & \Leftrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}\\ & \Leftrightarrow\forall M\in\mathbb{R},\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow M\leq\sup_{k\geq n}a_{k}\\ & \Leftrightarrow\forall M\in\mathbb{R},\exists N,k\in\mathbb{N},N\leq n\leq k\land M\leq a_{k}\\ & \Leftrightarrow\forall M\in\mathbb{R},\exists k\in\mathbb{N},M\leq a_{k} \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\land\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty & \Leftrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\land\forall M\in\mathbb{R},\exists k\in\mathbb{N},M\leq a_{k}\\ & \Leftrightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty \end{align*} となる。
従って、\(\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\)のとき、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\)が成り立つ。
同様に\(\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty\)のとき、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty\)が成り立つ。

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これらより、ある拡大実数\(a\in\left[-\infty,\infty\right]\)が存在し、\(\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)となるとき、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。