(1)

任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(a_{k}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n},b_{k}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となる。
これより、
\[ a_{k}+b_{k}\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \] となるので、
\begin{align*} \sup_{k\in\mathbb{N}}\left(a_{k}+b_{k}\right) & \leq\sup_{k\in\mathbb{N}}\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\\ & =\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。

(2)

任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(a_{k}\geq\inf_{n\in\mathbb{N}}a_{n},b_{k}\geq\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となる。
ここから(1)と同様にすればいい。

(3)

任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(a_{k}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n},b_{k}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となる。
これより、
\[ a_{k}+b_{k}\leq\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\max_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \] となるので、
\begin{align*} \max_{k\in\mathbb{N}}\left(a_{k}+b_{k}\right) & \leq\max_{k\in\mathbb{N}}\left(\max_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\max_{k\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\\ & =\max_{k\in\mathbb{N}}a_{n}+\max_{k\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。

(4)

任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対し、\(a_{k}\geq\min_{n\in\mathbb{N}}a_{n},b_{k}\geq\min_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\)となる。
ここから(3)と同様にすればいい。

(5)

(1)より、
\begin{align*} \limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right) & =\lim_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\left(a_{k}+b_{k}\right)\\ & \leq\lim_{n\in\mathbb{N}}\left(\sup_{k\geq n}a_{k}+\sup_{k\geq n}b_{k}\right)\\ & =\limsup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\limsup_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(6)

(2)より、
\begin{align*} \liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right) & =\lim_{n\in\mathbb{N}}\inf_{k\geq n}\left(a_{k}+b_{k}\right)\\ & \geq\lim_{n\in\mathbb{N}}\left(\inf_{k\geq n}a_{k}+\inf_{k\geq n}b_{k}\right)\\ & =\liminf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\liminf_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(6)-2

(5)より、
\begin{align*} \liminf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right) & =-\limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(-\left(a_{n}+b_{n}\right)\right)\\ & \geq-\limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)-\limsup_{n\in\mathbb{N}}\left(-b_{n}\right)\\ & =\liminf_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\liminf_{n\in\mathbb{N}}b_{n} \end{align*} となるので題意は成り立つ。