チェザロ総和とチェザロ平均の定義

by nomura · 2023年12月26日

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チェザロ総和とチェザロ平均の定義

(1)チェザロ総和(チェザロ和)

数列${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$の最初の$n$項の部分和
$$s_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$$ の極限
$$C=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{s}_j$$ が有限となるとき、${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$はチェザロ総和可能であるという。
また、この極限$C$を${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$のチェザロ総和またはチェザロ和という。

(2)チェザロ平均

数列${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$の最初の$n$項の相加平均
$$m_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_n$$ をチェザロ平均という。

チェザロ総和は、
$$\begin{array}{rl}C& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{s}_j\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^j{a}_k\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sum _{j=k}^n{a}_k\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(n-k+1)a_k\end{array}$$ となる。

$a_n={(-1)}^{n+1}$とする。
このとき、和
$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{k+1}$$ は収束しないがチェザロ総和は存在する。
チェザロ総和を求めるのに部分和を求めると、
$$\begin{array}{rl}{s}_n& =\sum _{k=1}^n{a}_k\\ & =\sum _{k=1}^n{(-1)}^{n+1}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{{(-1)}^{n+1}}{2}\end{array}$$ となり、チェザロ総和は
$$\begin{array}{rl}C& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{s}_j\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n(\frac{1}{2}+\frac{{(-1)}^{j+1}}{2})\\ & =\frac{1}{2}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\left(\frac{{(-1)}^{j+1}}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}(-\frac{1}{4}+\frac{{(-1)}^n}{4})\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$ より、$\frac{1}{2}$となる。
この級数のチェザロ平均は、
$$\begin{array}{rl}{m}_n& =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_n\\ & =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{(-1)}^{n+1}\\ & =\frac{1}{n}(\frac{1}{2}+\frac{{(-1)}^{n+1}}{2})\\ & =\frac{1}{2n}(1+{(-1)}^{n+1})\\ & =\frac{\mathrm{mod}(n,2)}{n}\end{array}$$ となる。

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上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係

$$\left(\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{a}_n\right)\left(\underset{n\in \mathbb{N}}{inf}{b}_n\right)\le \underset{n\in \mathbb{N}}{sup}\left(a_n{b}_n\right)$$

ワイエルシュトラスの定理(公理)

実数全体の空でない部分集合が下に有界ならば下限が存在する。

各点収束するが一様収束しない例

収束する数列の部分列は同じ値に収束する

無限数列$\left(a_n\right)$が収束するとき、その部分列$\left(a_{\sigma \left(n\right)}\right)$も同じ値に収束する。