チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係
チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があるとする。
\[ \frac{a_{n}}{n}\leq\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(a_{k}-a_{k-1}\right) \]
\[ \inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(a_{k}-a_{k-1}\right)\leq\frac{a_{n}}{n} \]
\[ \sqrt[n]{a_{n}}\leq\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\frac{a_{k}}{a_{k-1}} \]
\[ \inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\frac{a_{k}}{a_{k-1}}\leq\sqrt[n]{a_{n}} \]
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{a_{n-1}} \]
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}} \]
実数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)があるとする。
(1)
\[ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k} \](2)
\[ \inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} \](3)
\(a_{0}=0\)とする。\[ \frac{a_{n}}{n}\leq\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(a_{k}-a_{k-1}\right) \]
(4)
\(a_{0}=0\)とする。\[ \inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(a_{k}-a_{k-1}\right)\leq\frac{a_{n}}{n} \]
(5)
\(a_{0}=1\)として\(\forall n\in\mathbb{N},0<a_{n}\)とする。\[ \sqrt[n]{a_{n}}\leq\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\frac{a_{k}}{a_{k-1}} \]
(6)
\(a_{0}=1\)として\(\forall n\in\mathbb{N},0<a_{n}\)とする。\[ \inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\frac{a_{k}}{a_{k-1}}\leq\sqrt[n]{a_{n}} \]
(7)
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} \](8)
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} \](9)
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{n}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}-a_{n-1}\right) \](10)
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{n} \](11)
\(\forall n\in\mathbb{N},0<a_{n}\)とする。\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{a_{n-1}} \]
(12)
\(\forall n\in\mathbb{N},0<a_{n}\)とする。\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\leq\liminf_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}} \]
(1)-(6)は\(n\)が有限の場合は上限・下限ではなく最大値・最小値でもいい。
\[ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k} \] より、上極限をとっても
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{j\geq n}\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,j\right\} }a_{k}\\ & =\sup_{k\in\mathbb{N}}a_{k} \end{align*} となり導出できない。
-
(7)は(1)を使って、\[ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k} \] より、上極限をとっても
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{j\geq n}\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,j\right\} }a_{k}\\ & =\sup_{k\in\mathbb{N}}a_{k} \end{align*} となり導出できない。
(1)
\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} & \leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\\ & =\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k} \end{align*}(2)
\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} & \geq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\\ & \leq\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k} \end{align*}(3)
(1)で\(b_{0}=0\)として、\(a_{n}=b_{n}-b_{n-1}\)とおくと、\begin{align*} \frac{b_{n}}{n} & =\frac{1}{n}\left(b_{n}-b_{0}\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(b_{n}-b_{n-1}\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ & \leq\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\\ & =\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(b_{k}-b_{k-1}\right) \end{align*}
(4)
(2)で\(b_{0}=0\)として、\(a_{n}=b_{n}-b_{n-1}\)とおくと、\begin{align*} \frac{b_{n}}{n} & =\frac{1}{n}\left(b_{n}-b_{0}\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(b_{n}-b_{n-1}\right)\\ & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ & \geq\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\\ & =\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(b_{k}-b_{k-1}\right) \end{align*}
(5)
(3)より、\begin{align*} \sqrt[n]{a_{n}} & =\exp\log\left(\sqrt[n]{a_{n}}\right)\\ & =\exp\left(\frac{1}{n}\log\left(a_{n}\right)\right)\\ & \leq\exp\left(\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(\log\left(a_{k}\right)-\log\left(a_{k-1}\right)\right)\right)\\ & =\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\exp\left(\log\left(a_{k}\right)-\log\left(a_{k-1}\right)\right)\\ & =\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\exp\left(\log\frac{a_{k}}{a_{k-1}}\right)\\ & =\sup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\frac{a_{k}}{a_{k-1}} \end{align*} となる。
途中で\(\log a_{0}=0\)となるためには\(a_{0}=1\)となる。
従って題意は成り立つ。
(6)
(4)より、\begin{align*} \sqrt[n]{a_{n}} & =\exp\log\left(\sqrt[n]{a_{n}}\right)\\ & =\exp\left(\frac{1}{n}\log\left(a_{n}\right)\right)\\ & \geq\exp\left(\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(\log\left(a_{k}\right)-\log\left(a_{k-1}\right)\right)\right)\\ & =\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\exp\left(\log\left(a_{k}\right)-\log\left(a_{k-1}\right)\right)\\ & =\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\exp\left(\log\frac{a_{k}}{a_{k-1}}\right)\\ & =\inf_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\frac{a_{k}}{a_{k-1}} \end{align*} となる。
途中で\(\log a_{0}=0\)となるためには\(a_{0}=1\)となる。
従って題意は成り立つ。
(7)
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{j-1}a_{k}+\frac{1}{n}\sum_{k=j}^{n}a_{k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{j-1}a_{k}\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}+\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=j}^{n}a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{m\geq n}\frac{1}{m}\sum_{k=j}^{m}a_{k}\\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{m\geq n}\frac{m-j+1}{m}\sup_{k\geq j}a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq j}a_{k}\\ & =\sup_{k\geq j}a_{k}\\ & =\lim_{j\rightarrow\infty}\sup_{k\geq j}a_{k}\\ & =\limsup_{k\rightarrow\infty}a_{k} \end{align*} 途中で\(j\)は任意なので\(j\rightarrow\infty\)とした。これより題意は成り立つ。
(7)-2
(11)より、\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\log\left|\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)\right|\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\log\left|\sqrt[n]{\exp\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k}\right)}\right|\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\log\left|\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}\exp\left(a_{k}\right)}\right|\\ & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\log\left|\frac{\prod_{k=1}^{n}\exp\left(a_{k}\right)}{\prod_{k=1}^{n-1}\exp\left(a_{k}\right)}\right|\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\log\left|e^{a_{n}}\right|\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right) \end{align*} となり題意は成り立つ。
(8)
(7)より、\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n} & =-\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(-a_{n}\right)\\ & \leq-\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(-a_{k}\right)\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} \end{align*} となる。
(9)
\(b_{0}=0\)として\(a_{n}=b_{n}-b_{n-1}\)とおく。(7)より、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{b_{n}}{n} & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\left(b_{n}-b_{0}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(b_{n}-b_{n-1}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-b_{n-1}\right) \end{align*} となり題意は成り立つ。
(10)
(9)と同様にすればよい。(11)
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}} & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(a_{k-1}\prod_{j=k}^{n}\frac{a_{j}}{a_{j-1}}\right)^{\frac{1}{n}}\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{k-1}^{\frac{1}{n}}\left(\prod_{j=k}^{n}\frac{a_{j}}{a_{j-1}}\right)^{\frac{1}{n}}\\ & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{k-1}^{\frac{1}{n}}\left(\sup_{j\geq k}\frac{a_{j}}{a_{j-1}}\right)^{\frac{n-k+1}{n}}\\ & =\sup_{j\geq k}\frac{a_{j}}{a_{j-1}}\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sup_{j\geq k}\frac{a_{j}}{a_{j-1}}\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{a_{n-1}} \end{align*} となる。途中で\(k\)は任意なので\(k\rightarrow\infty\)とした。
これより、題意は成り立つ。
(11)-2
(7)より、\(0\leq a_{n}\)なので、\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_{n}} & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\exp\left(\log\sqrt[n]{a_{n}}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\exp\left(\frac{1}{n}\log a_{n}\right)\\ & \leq\limsup_{n\rightarrow\infty}\exp\left(\log a_{n}-\log a_{n-1}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\exp\left(\log\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\right)\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{a_{n-1}} \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(12)
(11)と同様にすればよい。ページ情報
タイトル | チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係 |
URL | https://www.nomuramath.com/skrwsqi9/ |
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各点収束・一様収束・広義一様収束の包含関係
\[
\text{一様収束}\Rightarrow\text{各点収束}
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases}
c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\
c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\
0 & c=0
\end{cases}
\]
収束列ならばコーシー列
収束列ならばコーシー列となるが逆は一般に成り立たない。
極限と積分・微分の順序変更
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx
\]