実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
実数全体の集合の空でない部分集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)があるとする。

(1)上界

ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、任意の\(a\in A\)に対し\(a\leq x\)が成り立つとき、すなわち\(\exists x\in\mathbb{R},\forall a\in A,a\leq x\)となるとき、\(x\)を\(A\)の上界という。
\(A\)の上界が存在するとき上に有界であるという。

(2)下界

ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、任意の\(a\in A\)に対し\(x\leq a\)が成り立つとき、すなわち\(\exists x\in\mathbb{R},\forall a\in A,x\leq a\)となるとき、\(x\)を\(A\)の下界という。
\(A\)の下界が存在するとき下に有界であるという。

(3)有界

\(A\)が上に有界で下にも有界であるとき、\(A\)は有界であるという。
また、ある\(M>0\)が存在し任意の\(a\in A\)に対し\(\left|a\right|\leq M\)でも同じである。
すなわち、\(\exists M>0,\forall a\in A,\left|a\right|\leq M\)である。

(4)最大値

ある\(x\in A\)が存在し、任意の\(a\in A\)に対し、\(a\leq x\)となるとき、\(x\)は\(A\)の最大値といい\(\max A\)で表される。
すなわち、\(\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x\)となる。

(5)最小値

ある\(x\in A\)が存在し、任意の\(a\in A\)に対し、\(x\leq a\)となるとき、\(x\)は\(A\)の最小値といい\(\min A\)で表される。
すなわち、\(\left(\exists x\in A,\forall a\in A,x\leq a\right)\Leftrightarrow\min A=x\)となる。