対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\(z\in\mathbb{C}\)とする。
\(\Im\left(z\right)\)は虚部。
\(z\in\mathbb{C}\)とする。
(1)
\[ z=\exp\left(\Log\left(z\right)\right) \](2)
\[ \Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right) \](3)
\[ \left|\Re\left(z\right)\right|=\Log\left|\exp\left(z\right)\right| \]-
\(\Re\left(z\right)\)は実部。\(\Im\left(z\right)\)は虚部。
\(\Log\left(\exp\left(2\pi i\right)\right)=\Log\left(1\right)=0\ne2\pi i\)なので、
\(z=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)\)は一般的に成り立たない。
\(z=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)\)は一般的に成り立たない。
(1)
指数関数の定義\(\alpha^{\beta}=e^{\beta\Log\alpha}\)より、\begin{align*} z & =z^{1}\\ & =e^{1\Log z}\\ & =\exp\left(\Log\left(z\right)\right) \end{align*} となり題意は成り立つ。
(2)
\begin{align*} \Log\left(\exp\left(z\right)\right) & =\Log\left(\exp\left(\Re\left(z\right)+\Im\left(z\right)i\right)\right)\\ & =\Log\left(\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(\Im\left(z\right)i\right)\right)\\ & =\ln\left|\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(\Im\left(z\right)i\right)\right|+i\Arg\left(\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(\Im\left(z\right)i\right)\right)\\ & =\Re\left(z\right)+i\Arg\left(\exp\left(\Im\left(z\right)i\right)\right)\\ & =\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \Log\left|\exp\left(z\right)\right| & =\Log\left|\exp\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right|\\ & =\Log\left|\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(i\Im\left(z\right)\right)\right|\\ & =\Log\left|\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\right|\\ & =\Log\exp\Re\left(z\right)\\ & =\Re\left(z\right) \end{align*}ページ情報
| タイトル | 対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い |
| URL | https://www.nomuramath.com/c41hiuwq/ |
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複素指数関数の極形式
\[
\alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}
\]
対数と偏角の性質
\[
\log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1
\]
偏角の和と積の偏角
\[
\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=?\Arg\left(\alpha\beta\right)
\]
積が非負実数のべき乗
\[
\left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]