指数関数の実部と虚部
指数関数とべき乗の絶対値
指数関数とべき乗の絶対値について以下が成り立つ。
\(\Im\left(z\right)\)は虚部。
指数関数とべき乗の絶対値について以下が成り立つ。
(1)
\[ \left|\exp\left(z\right)\right|=\exp\left(\Re\left(z\right)\right) \](2)
\[ \left|\exp\left(-z\right)\right|=\exp\left(-\Re\left(z\right)\right) \](3)
\[ \left|\exp\left(iz\right)\right|=\exp\left(-\Im\left(z\right)\right) \](4)
\[ \left|\exp\left(-iz\right)\right|=\exp\left(\Im\left(z\right)\right) \](5)
\[ \left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)} \]-
\(\Re\left(z\right)\)は実部。\(\Im\left(z\right)\)は虚部。
(1)
\begin{align*} \left|\exp\left(z\right)\right| & =\left|\exp\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right|\\ & =\left|\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(i\Im\left(z\right)\right)\right|\\ & =\sqrt{\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(i\Im\left(z\right)\right)\exp\left(\Re\left(z\right)\right)\exp\left(-i\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\sqrt{\exp^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\\ & =\exp\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
(1)より、\begin{align*} \left|\exp\left(-z\right)\right| & =\exp\left(\Re\left(-z\right)\right)\\ & =\exp\left(-\Re\left(z\right)\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(3)
(1)より、\begin{align*} \left|\exp\left(iz\right)\right| & =\exp\left(\Re\left(iz\right)\right)\\ & =\exp\left(-\Im\left(z\right)\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(4)
(1)より、\begin{align*} \left|\exp\left(-iz\right)\right| & =\exp\left(\Re\left(-iz\right)\right)\\ & =\exp\left(-\Re\left(iz\right)\right)\\ & =\exp\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。
(5)
\begin{align*} \left|\alpha^{\beta}\right| & =\left|\exp\left(\beta\Log\alpha\right)\right|\\ & =\left|\exp\left\{ \left(\Re\left(\beta\right)+i\Im\left(\beta\right)\right)\left(\ln\left|\alpha\right|+i\Arg\left(\alpha\right)\right)\right\} \right|\\ & =\left|\exp\left\{ \Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+i\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)\right)\right\} \right|\\ & =\exp\left\{ \Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)\right\} \\ & =\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 指数関数の実部と虚部 |
| URL | https://www.nomuramath.com/xsk3t49e/ |
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複素数の冪関数の定義
\[
\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}
\]
絶対値の冪乗
\[
\left(\left|\alpha\right|\beta\right)^{\gamma}=\left|\alpha\right|^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
負数の偏角と対数
\[
\Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right)=2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi
\]
複素数の実部と虚部
\[
\Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right)
\]