対数を含む積分
対数を含む積分
対数を含む次の積分が成り立つ。
\[ \int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0} \]
対数を含む次の積分が成り立つ。
\[ \int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0} \]
\(f\left(x\right)=x^{n}\)とすると、
\begin{align*} \int\log\left(x\right)x^{n}dx & =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}x^{n}dx\right]_{t=0}\\ & =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t+n}dx\right]_{t=0}\\ & =\left[\frac{d}{dt}\frac{1}{t+n+1}x^{t+n+1}\right]_{t=0}\\ & =\left[-\frac{1}{\left(t+n+1\right)^{2}}x^{t+n+1}+\frac{1}{t+n+1}\log\left(x\right)x^{t+n+1}\right]_{t=0}\\ & =-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2}}+\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1} \end{align*} となる。
部分積分で求めると、
\begin{align*} \int\log\left(x\right)x^{n}dx & =\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1}-\int\frac{x^{n}}{n+1}dx\\ & =\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2}} \end{align*} となるのでこの場合は普通に部分積分で求める方がよい。
\begin{align*} \int\log\left(x\right)x^{n}dx & =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}x^{n}dx\right]_{t=0}\\ & =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t+n}dx\right]_{t=0}\\ & =\left[\frac{d}{dt}\frac{1}{t+n+1}x^{t+n+1}\right]_{t=0}\\ & =\left[-\frac{1}{\left(t+n+1\right)^{2}}x^{t+n+1}+\frac{1}{t+n+1}\log\left(x\right)x^{t+n+1}\right]_{t=0}\\ & =-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2}}+\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1} \end{align*} となる。
部分積分で求めると、
\begin{align*} \int\log\left(x\right)x^{n}dx & =\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1}-\int\frac{x^{n}}{n+1}dx\\ & =\frac{\log\left(x\right)x^{n+1}}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{\left(n+1\right)^{2}} \end{align*} となるのでこの場合は普通に部分積分で求める方がよい。
\begin{align*}
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx & =\int\left[\log\left(x\right)x^{t}\right]_{t=0}f\left(x\right)dx\\
& =\int\left[\frac{d}{dt}x^{t}\right]_{t=0}f\left(x\right)dx\\
& =\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 対数を含む積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/xe0d2pwn/ |
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微分形接触型積分
\[
\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))
\]
部分積分と繰り返し部分積分
\[
\int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx
\]
ライプニッツの法則
\[
\left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)}
\]
偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
\[
\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+a^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx
\]